ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 589 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Разность квадратов корней уравнения \(x^2 + 2x + q = 0\) равна 12. Найдите \(q\).

\(x^2 + 2x + q = 0\)
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -2 \\
x_1^2 — x_2^2 = 12
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -2 \\
(x_1 + x_2)(x_1 — x_2) = 12
\end{cases}
\]
\[
\begin{cases}
x_1 + x_2 = -2 \\
-2(x_1 — x_2) = 12
\end{cases}
\]
\[
x_1 + x_2 = -2, \quad 2x_1 = -8
\]
\[
x_2 = -2 + 4, \quad x_1 = -4
\]
\[
x_2 = 2, \quad x_1 = -4
\]
\[
x_1 \cdot x_2 = q
\]
\[
-4 \cdot 2 = -8
\]
Ответ: -8.

Уравнение: \(x^2 + 2x + q = 0\).

Дано, что разность квадратов корней уравнения равна 12. Найти \(q\).

Шаг 1: Формулы для корней квадратного уравнения

Сумма корней квадратного уравнения равна:

\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\), где \(a = 1\), \(b = 2\). Тогда:

\(x_1 + x_2 = -2\).

Произведение корней уравнения равно:

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\), где \(c = q\). Тогда:

\(x_1 \cdot x_2 = q\).

Шаг 2: Разность квадратов корней

По условию задачи:

\(x_1^2 — x_2^2 = 12\).

Используем формулу разности квадратов:

\(x_1^2 — x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 — x_2)\).

Подставляем известное значение \(x_1 + x_2 = -2\):

\((-2)(x_1 — x_2) = 12.\)

Шаг 3: Найдем разность корней

Решаем уравнение для \(x_1 — x_2\):

\(-2(x_1 — x_2) = 12.\)

\(x_1 — x_2 = -6.\)

Шаг 4: Система уравнений для корней

Теперь у нас есть система:

\(\begin{cases} x_1 + x_2 = -2 \\ x_1 — x_2 = -6 \end{cases}\)

Складываем уравнения:

\(2x_1 = -8 \Rightarrow x_1 = -4.\)

Подставляем \(x_1 = -4\) в первое уравнение:

\(-4 + x_2 = -2 \Rightarrow x_2 = 2.\)

Шаг 5: Найдем \(q\)

Произведение корней равно \(q\):

\(q = x_1 \cdot x_2 = -4 \cdot 2 = -8.\)

Ответ:

\(q = -8.\)