ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 569 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Число диагоналей \( p \) выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:

\[
p = \frac{n(n-3)}{2},
\]

где \( n \) — число сторон. В каком выпуклом многоугольнике диагоналей на 25 больше, чем сторон?

Пусть сторон в выпуклом многоугольнике \( n \), тогда диагоналей — \( n + 25 \). Число диагоналей вычисляется по формуле:

\[
p = \frac{n(n-3)}{2}.
\]

Составим и решим уравнение:

\[
\frac{n(n-3)}{2} = n + 25 \quad | \cdot 2
\]

\[
n(n-3) = 2n + 50
\]

\[
n^2 — 3n — 2n — 50 = 0
\]

\[
n^2 — 5n — 50 = 0
\]

\[
D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 25 + 200 = 225 > 0
\]

\[
\sqrt{D} = 15
\]

\[
n_1 = \frac{-(-5) + 15}{2 \cdot 1} = \frac{5 + 15}{2} = 10
\]

\[
n_2 = \frac{-(-5) — 15}{2 \cdot 1} = \frac{5 — 15}{2} = -5 \quad \text{(не подходит по условию)}.
\]

10 сторон — десятиугольник.

Ответ: десятиугольник.

Число диагоналей выпуклого многоугольника вычисляется по формуле:

p = ^{n(n — 3)} / ₂,

где n — количество сторон многоугольника.

По условию задачи, число диагоналей на 25 больше числа сторон. Это можно записать как:

p = n + 25.

Составим уравнение:

Используя формулу для числа диагоналей, получаем:

^{n(n — 3)} / ₂ = n + 25.

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

n(n — 3) = 2n + 50.

Приведём уравнение к стандартному виду:

Раскроем скобки:

n² — 3n = 2n + 50.

Перенесём все члены в левую часть:

n² — 3n — 2n — 50 = 0.

Приведём подобные члены:

n² — 5n — 50 = 0.

Решим квадратное уравнение:

Коэффициенты уравнения:

• a = 1
• b = -5
• c = -50

Найдём дискриминант по формуле:

D = b² — 4ac.

Подставим значения:

D = (-5)² — 4 × 1 × (-50) = 25 + 200 = 225.

Дискриминант положительный (D > 0), значит, уравнение имеет два корня.

Найдём корни:

Формула для корней квадратного уравнения:

n = (-b ± √D) / 2a.

Подставим значения:

n₁ = (5 + 15) / 2 = 20 / 2 = 10.

n₂ = (5 — 15) / 2 = -10 / 2 = -5.

Так как количество сторон не может быть отрицательным, оставляем только положительный корень:

n = 10.

Ответ:

Количество сторон многоугольника — 10. Это десятиугольник.