Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 552 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) Решите уравнения:
а) \( x^2 — 5x + 6 = 0 \) и \( 6x^2 — 5x + 1 = 0 \);
б) \( 2x^2 — 13x + 6 = 0 \) и \( 6x^2 — 13x + 2 = 0 \).
1) Пусть одна группа учащихся выполнит задание а), а другая — задание б).
2) Сравните результаты и выскажите предположение о соотношении между корнями уравнений \( ax^2 + bx + c = 0 \) и \( cx^2 + bx + a = 0 \).
3) Докажите, что ваше предположение верно.
а) Корни: \( 3; 2 \) и \( \frac{1}{2}; \frac{1}{3} \).
б) Корни: \( 6; \frac{1}{2} \) и \( 2; \frac{1}{6} \).
Сравнение:** Корни уравнений взаимно обратны.
Доказательство:** При перестановке коэффициентов \( a \leftrightarrow c \), корни становятся взаимно обратными. Доказано.
а) Уравнение \( x^2 — 5x + 6 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 — 24 = 1 \)
\( \sqrt{D} = 1 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3 \)
\( x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 — 1}{2} = 2 \)
Ответ: \( 3; 2 \)
а) Уравнение \( 6x^2 — 5x + 1 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-5)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 — 24 = 1 \)
\( \sqrt{D} = 1 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{1}{2} \)
\( x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 — 1}{12} = \frac{1}{3} \)
Ответ: \( \frac{1}{2}; \frac{1}{3} \)
б) Уравнение \( 2x^2 — 13x + 6 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 — 48 = 121 \)
\( \sqrt{D} = 11 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 11}{4} = 6 \)
\( x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 — 11}{4} = \frac{1}{2} \)
Ответ: \( 6; \frac{1}{2} \)
б) Уравнение \( 6x^2 — 13x + 2 = 0 \)
Найдём дискриминант:
\( D = b^2 — 4ac = (-13)^2 — 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 — 48 = 121 \)
\( \sqrt{D} = 11 \)
Корни уравнения:
\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 + 11}{12} = 2 \)
\( x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{13 — 11}{12} = \frac{1}{6} \)
Ответ: \( 2; \frac{1}{6} \)
2) Сравнение корней
При перестановке коэффициентов \( a \leftrightarrow c \) корни уравнений оказываются взаимно обратными.
3) Доказательство
Рассмотрим два уравнения:
\( ax^2 + bx + c = 0 \) и \( cx^2 + bx + a = 0 \).
Пусть корни первого уравнения \( x_1 \) и \( x_2 \), тогда:
\( x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} \).
Для второго уравнения корни \( y_1 \) и \( y_2 \):
\( y_1 \cdot y_2 = \frac{a}{c} \).
Следовательно, корни взаимно обратны: \( x_1 = \frac{1}{y_1}, x_2 = \frac{1}{y_2} \).
Доказано!
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.