ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 540 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение:

a) \( 5x^2 = 9x + 2 \);
б) \( -t^2 = 5t — 14 \);
в) \( 6x + 9 = x^2 \);
г) \( z — 5 = z^2 — 25 \);
д) \( y^2 = 52y — 576 \);
е) \( 15y^2 — 30 = 22y + 7 \);
ж) \( 25p^2 = 10p — 1 \);
з) \( 299x^2 + 100x = 500 — 101x^2 \).

Часть а)
1. \( 5x^2 = 9x + 2 \)
2. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\[
5x^2 — 9x — 2 = 0
\]

3. Вычислим дискриминант \( D \):
\[
D = b^2 — 4ac = (-9)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 > 0
\]

4. Найдем корни квадратного уравнения:
\[
\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11
\]

\[
x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 11}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2
\]

\[
x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 — 11}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -0.2
\]

5. Ответ:
\[
\text{Ответ: } -0.2; 2.
\]

Часть б)
1. \( -t^2 = 5t — 14 \)
2. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\[
t^2 + 5t — 14 = 0
\]

3. Вычислим дискриминант \( D \):
\[
D = b^2 — 4ac = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 > 0
\]

4. Найдем корни квадратного уравнения:
\[
\sqrt{D} = \sqrt{81} = 9
\]

\[
t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2
\]

\[
t_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 — 9}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7
\]

5. Ответ:

\[
\text{Ответ: } -7; 2.
\]

В)
\[ 6x + 9 = x^2 \]

\[ x^2 — 6x — 9 = 0 \]

\[ D = b^2 — 4ac = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72 > 0 \]

\[ \sqrt{D} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

\[ x_1 = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2(3 + 3\sqrt{2})}{2} = 3 + 3\sqrt{2} \]

\[ x_2 = \frac{6 — 6\sqrt{2}}{2 \cdot 1} = \frac{2(3 — 3\sqrt{2})}{2} = 3 — 3\sqrt{2} \]

Ответ: \( 3 — 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2} \).

Г)

\[ z — 5 = z^2 — 25 \]

\[ z^2 — 25 — z + 5 = 0 \]

\[ z^2 — z — 20 = 0 \]

\[ D = b^2 — 4ac = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 > 0 \]

\[ \sqrt{D} = 9 \]

\[ z_1 = \frac{1 + 9}{2 \cdot 1} = \frac{10}{2} = 5 \]

\[ z_2 = \frac{1 — 9}{2 \cdot 1} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Ответ: \( -4; 5 \).

Д)

\[ y^2 = 52y — 576 \]

\[ y^2 — 52y + 576 = 0 \]

\[ D = b^2 — 4ac = (-52)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 576 = 2704 + 2304 = 400 > 0 \]

\[ \sqrt{D} = 20 \]

\[ y_1 = \frac{52 + 20}{2 \cdot 1} = \frac{72}{2} = 36 \]

\[ y_2 = \frac{52 — 20}{2 \cdot 1} = \frac{32}{2} = 16 \]

Ответ: \( 16; 36 \).

Е)
\[ 15y^2 — 30 = 22y + 7 \]

\[ 15y^2 — 22y — 7 — 30 = 0 \]

\[ 15y^2 — 22y — 37 = 0 \]

\[ D = b^2 — 4ac = (-22)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-37) = 484 + 2220 = 2704 > 0 \]

\[ \sqrt{D} = 52 \]

\[ y_1 = \frac{22 + 52}{2 \cdot 15} = \frac{74}{30} = \frac{37}{15} = 2 \frac{7}{15} \]

\[ y_2 = \frac{22 — 52}{2 \cdot 15} = \frac{-30}{30} = -1 \]

Ответ: \( -1; 2 \frac{7}{15} \).

Ж)

\[ 25p^2 = 10p — 1 \]

\[ 25p^2 — 10p + 1 = 0 \]

\[ D = b^2 — 4ac = (-10)^2 — 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 — 100 = 0 \]

\[ p = \frac{10}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = 0.2 \]

Ответ: \( 0.2 \).

З)
\[ 299x^2 + 100x = 500 — 101x^2 \]

\[ 299x^2 + 100x — 500 + 101x^2 = 0 \]

\[ 400x^2 + 100x — 500 = 0 \quad |: 100 \]

\[ 4x^2 + x — 5 = 0 \]

\[ D = b^2 — 4ac = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 > 0 \]

\[ \sqrt{D} = 9 \]

\[ x_1 = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -1.25 \]

Ответ: \( -1.25; 1 \).

Задача: Решите квадратные уравнения, используя формулу (II):

a) \( 5x^2 = 9x + 2 \)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\( 5x^2 — 9x — 2 = 0 \)

2. Вычислим дискриминант \( D \):

\( D = (-9)^2 — 4 \cdot 5 \cdot (-2) = 81 + 40 = 121 > 0 \)

3. \( \sqrt{D} = 11 \)

4. Находим корни уравнения с помощью формулы для квадратных уравнений:

\( x_1 = \frac{9 + 11}{10} = \frac{20}{10} = 2 \)

\( x_2 = \frac{9 — 11}{10} = \frac{-2}{10} = -0.2 \)

Ответ: \( x = -0.2; 2 \)

б) \( -t^2 = 5t — 14 \)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\( t^2 + 5t — 14 = 0 \)

2. Вычислим дискриминант \( D \):

\( D = 5^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81 > 0 \)

3. \( \sqrt{D} = 9 \)

4. Находим корни:

\( t_1 = \frac{-5 + 9}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)

\( t_2 = \frac{-5 — 9}{2} = \frac{-14}{2} = -7 \)

Ответ: \( t = -7; 2 \)

в) \( 6x + 9 = x^2 \)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\( x^2 — 6x — 9 = 0 \)

2. Вычислим дискриминант \( D \):

\( D = (-6)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 36 + 36 = 72 > 0 \)

3. \( \sqrt{D} = 6\sqrt{2} \)

4. Находим корни:

\( x_1 = \frac{6 + 6\sqrt{2}}{2} = 3 + 3\sqrt{2} \)

\( x_2 = \frac{6 — 6\sqrt{2}}{2} = 3 — 3\sqrt{2} \)

Ответ: \( x = 3 — 3\sqrt{2}; 3 + 3\sqrt{2} \)

г) \( z — 5 = z^2 — 25 \)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\( z^2 — z — 20 = 0 \)

2. Вычислим дискриминант \( D \):

\( D = (-1)^2 — 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 > 0 \)

3. \( \sqrt{D} = 9 \)

4. Находим корни:

\( z_1 = \frac{1 + 9}{2} = \frac{10}{2} = 5 \)

\( z_2 = \frac{1 — 9}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Ответ: \( z = -4; 5 \)

д) \( y^2 = 52y — 576 \)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\( y^2 — 52y + 576 = 0 \)

2. Вычислим дискриминант \( D \):

\( D = (-52)^2 — 4 \cdot 1 \cdot 576 = 2704 + 2304 = 400 > 0 \)

3. \( \sqrt{D} = 20 \)

4. Находим корни:

\( y_1 = \frac{52 + 20}{2} = \frac{72}{2} = 36 \)

\( y_2 = \frac{52 — 20}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)

Ответ: \( y = 16; 36 \)

е) \( 15y^2 — 30 = 22y + 7 \)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\( 15y^2 — 22y — 37 = 0 \)

2. Вычислим дискриминант \( D \):

\( D = (-22)^2 — 4 \cdot 15 \cdot (-37) = 484 + 2220 = 2704 > 0 \)

3. \( \sqrt{D} = 52 \)

4. Находим корни:

\( y_1 = \frac{22 + 52}{30} = \frac{74}{30} = 2 \frac{7}{15} \)

\( y_2 = \frac{22 — 52}{30} = \frac{-30}{30} = -1 \)

Ответ: \( y = -1; 2 \frac{7}{15} \)

ж) \( 25p^2 = 10p — 1 \)

1. Перепишем уравнение в стандартном виде:

\( 25p^2 — 10p + 1 = 0 \)

2. Вычислим дискриминант \( D \):

\( D = (-10)^2 — 4 \cdot 25 \cdot 1 = 100 — 100 = 0 \)

3. \( \sqrt{D} = 0 \)

4. Находим корни:

\( p = \frac{10}{2 \cdot 25} = \frac{10}{50} = 0.2 \)

Ответ: \( p = 0.2 \)

Задача 3 : Решите уравнение:

Уравнение: \( 299x^2 + 100x = 500 — 101x^2 \)

1. Переносим все элементы на одну сторону, чтобы уравнение было в стандартном виде:

\( 299x^2 + 100x — 500 + 101x^2 = 0 \)

2. Приводим подобные члены:

\( 400x^2 + 100x — 500 = 0 \)

3. Делим обе стороны уравнения на 100 для упрощения:

\( 4x^2 + x — 5 = 0 \)

Теперь решим это уравнение с помощью дискриминанта.

Шаг 1: Вычисляем дискриминант \( D \), используя формулу \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 4 \), \( b = 1 \), \( c = -5 \):

\( D = 1^2 — 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 1 + 80 = 81 \)

Так как дискриминант \( D > 0 \), у нас два различных корня.

Шаг 2: Находим корни уравнения с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1 \)

\( x_2 = \frac{-b — \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 — 9}{2 \cdot 4} = \frac{-10}{8} = -1.25 \)

Ответ: \( x = -1.25; 1 \)