ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 537 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Решите уравнение, используя формулу (II):

a) \( 3x^2 — 14x + 16 = 0 \);
б) \( 5p^2 — 16p + 3 = 0 \);
в) \( d^2 + 2d — 80 = 0 \);
г) \( x^2 — 22x — 23 = 0 \);
д) \( 4t^2 — 36t + 77 = 0 \);
е) \( 15y^2 — 22y — 37 = 0 \);
ж) \( 7z^2 — 20z + 14 = 0 \);
з) \( y^2 — 10y — 25 = 0 \).

a) \( 3x^2 — 14x + 16 = 0 \)

\( D = k^2 — ac = (-7)^2 — 3 \cdot 16 = 49 — 48 = 1 > 0 \)

\( \sqrt{D} = 1 \)

\( x_1 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

\( x_2 = \frac{7 — 1}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)

Ответ: \( 2; 2 \frac{2}{3} \)

б) \( 5p^2 — 16p + 3 = 0 \)

\( D = k^2 — ac = (-8)^2 — 5 \cdot 3 = 64 — 15 = 49 > 0 \)

\( \sqrt{D} = 7 \)

\( p_1 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3 \)

\( p_2 = \frac{8 — 7}{5} = \frac{1}{5} = 0.2 \)

Ответ: \( 0.2; 3 \)

в) \( d^2 + 2d — 80 = 0 \)

\[
D = k^2 — ac = 1^2 — 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81 > 0
\]

\[
\sqrt{D} = 9
\]

Ответ: \( -10; 8 \)

г) \( x^2 — 22x — 23 = 0 \)

\[
D = k^2 — ac = (-11)^2 — 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144 > 0
\]

\[
\sqrt{D} = 12
\]

Ответ: \( -1; 23 \)

д) \( 4t^2 — 36t + 77 = 0 \)

\( D = k^2 — ac = (-18)^2 — 4 \cdot 77 = 324 — 308 = 16 > 0 \)

\( \sqrt{D} = 4 \)

\( t_1 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = 5.5 \)

\( t_2 = \frac{18 — 4}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \)

Ответ: \( 3.5; 5.5 \)

e) \( 15y^2 — 22y — 37 = 0 \)

\( D = k^2 — ac = (-11)^2 — 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676 > 0 \)

\( \sqrt{D} = 26 \)

\( y_1 = \frac{11 + 26}{15} = \frac{37}{15} = 2 \frac{7}{15} \)

\( y_2 = \frac{11 — 26}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \)

Ответ: \( -1; 2 \frac{7}{15} \)

ж) \( 7z^2 — 20z + 14 = 0 \)

\[
D = k^2 — ac = (-10)^2 — 7 \cdot 14 = 100 — 98 = 2 > 0
\]

\[
\sqrt{D} = \sqrt{2}
\]

\[
z_1 = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}
\]

\[
z_2 = \frac{10 — \sqrt{2}}{7}
\]

Ответ: \( \frac{10 + \sqrt{2}}{7}, \frac{10 — \sqrt{2}}{7} \)

3) \( y^2 — 10y — 25 = 0 \)

\[
D = k^2 — ac = (-5)^2 — 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50 > 0
\]

\[
\sqrt{D} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
\]

\[
y_1 = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{1} = 5 + 5\sqrt{2}
\]

\[
y_2 = \frac{5 — 5\sqrt{2}}{1} = 5 — 5\sqrt{2}
\]

Ответ: \( 5 — 5\sqrt{2}, 5 + 5\sqrt{2} \)

Задача: Решите квадратные уравнения, используя формулу (II):

a) \( 3x^2 — 14x + 16 = 0 \)

Для решения уравнения используем формулу дискриминанта:

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 3 \), \( b = -14 \), \( c = 16 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = (-14)^2 — 4 \cdot 3 \cdot 16 = 196 — 192 = 1 \), что больше 0, значит у уравнения два различных корня.

Шаг 2: Находим корни с помощью формулы:

\( x_1 = \frac{7 + 1}{3} = \frac{8}{3} = 2 \frac{2}{3} \)

\( x_2 = \frac{7 — 1}{3} = \frac{6}{3} = 2 \)

Ответ: \( x = 2; 2 \frac{2}{3} \)

б) \( 5p^2 — 16p + 3 = 0 \)

Для этого уравнения также используем формулу дискриминанта:

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 5 \), \( b = -16 \), \( c = 3 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = (-8)^2 — 5 \cdot 3 = 64 — 15 = 49 \), что больше 0, значит у уравнения два различных корня.

Шаг 2: Находим корни:

\( p_1 = \frac{8 + 7}{5} = \frac{15}{5} = 3 \)

\( p_2 = \frac{8 — 7}{5} = \frac{1}{5} = 0.2 \)

Ответ: \( p = 0.2; 3 \)

в) \( d^2 + 2d — 80 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = 2 \), \( c = -80 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = 1^2 — 1 \cdot (-80) = 1 + 80 = 81 \), что больше 0, у уравнения два корня.

Шаг 2: Находим корни:

\( d_1 = \frac{-2 + 9}{2} = \frac{7}{2} = 8 \)

\( d_2 = \frac{-2 — 9}{2} = \frac{-11}{2} = -10 \)

Ответ: \( d = -10; 8 \)

г) \( x^2 — 22x — 23 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -22 \), \( c = -23 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = (-11)^2 — 1 \cdot (-23) = 121 + 23 = 144 \), что больше 0, у уравнения два корня.

Шаг 2: Находим корни:

\( x_1 = \frac{11 + 12}{2} = \frac{23}{2} = 23 \)

\( x_2 = \frac{11 — 12}{2} = \frac{-1}{2} = -1 \)

Ответ: \( x = -1; 23 \)

д) \( 4t^2 — 36t + 77 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 4 \), \( b = -36 \), \( c = 77 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = (-18)^2 — 4 \cdot 77 = 324 — 308 = 16 \), что больше 0, у уравнения два корня.

Шаг 2: Находим корни:

\( t_1 = \frac{18 + 4}{4} = \frac{22}{4} = 5.5 \)

\( t_2 = \frac{18 — 4}{4} = \frac{14}{4} = 3.5 \)

Ответ: \( t = 3.5; 5.5 \)

е) \( 15y^2 — 22y — 37 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 15 \), \( b = -22 \), \( c = -37 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = (-11)^2 — 15 \cdot (-37) = 121 + 555 = 676 \), что больше 0, у уравнения два корня.

Шаг 2: Находим корни:

\( y_1 = \frac{11 + 26}{15} = \frac{37}{15} = 2 \frac{7}{15} \)

\( y_2 = \frac{11 — 26}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \)

Ответ: \( y = -1; 2 \frac{7}{15} \)

ж) \( 7z^2 — 20z + 14 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 7 \), \( b = -20 \), \( c = 14 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = (-10)^2 — 7 \cdot 14 = 100 — 98 = 2 \), что больше 0, у уравнения два корня.

Шаг 2: Находим корни:

\( z_1 = \frac{10 + \sqrt{2}}{7} \)

\( z_2 = \frac{10 — \sqrt{2}}{7} \)

Ответ: \( z = \frac{10 + \sqrt{2}}{7}, \frac{10 — \sqrt{2}}{7} \)

з) \( y^2 — 10y — 25 = 0 \)

Дискриминант \( D = b^2 — 4ac \), где \( a = 1 \), \( b = -10 \), \( c = -25 \).

Шаг 1: Вычисляем дискриминант:

\( D = (-5)^2 — 1 \cdot (-25) = 25 + 25 = 50 \), что больше 0, у уравнения два корня.

Шаг 2: Находим корни:

\( y_1 = \frac{5 + 5\sqrt{2}}{1} = 5 + 5\sqrt{2} \)

\( y_2 = \frac{5 — 5\sqrt{2}}{1} = 5 — 5\sqrt{2} \)

Ответ: \( 5 — 5\sqrt{2}, 5 + 5\sqrt{2} \)