ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 51 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Приведите дробь:
а) \(\frac{x}{a — b}\) к знаменателю \((a — b)^2\);
б) \(\frac{y}{x — a}\) к знаменателю \(x^2 — a^2\);
в) \(\frac{a}{a — 10}\) к знаменателю \(10 — a\);
г) \(\frac{p}{p — 2}\) к знаменателю \(4 — p^2\);
д) \(\frac{mn}{n — m}\) к знаменателю \(m^2 — n^2\).

а) \(\frac{x}{a-b} = \frac{x \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{x(a-b)}{(a-b)^2} = \frac{ax-bx}{(a-b)^2}\)

б) \(\frac{y}{x-a} = \frac{y \cdot (x+a)}{(x-a) \cdot (x+a)} = \frac{xy+ay}{x^2-a^2}\)

в) \(\frac{a}{a-10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{10-a}\)

г) \(\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-1)(2+p)}{(p-2) \cdot (-1)(2+p)} = \frac{-2p-p^2}{4-p^2}\)

д) \(\frac{mn}{n-m} = \frac{mn \cdot (-1)(m+n)}{(n-m) \cdot (-1)(m+n)} = \frac{-m^2n-mn^2}{m^2-n^2}\)

а) Привести дробь \( \frac{x}{a — b} \) к знаменателю \( (a — b)^2 \)

Решение:
Домножим числитель и знаменатель на \(a — b\):
\[
\frac{x}{a — b} = \frac{x \cdot (a — b)}{(a — b)^2}
\]
Ответ: \( \frac{x(a — b)}{(a — b)^2} \)

б) Привести дробь \( \frac{y}{x — a} \) к знаменателю \( x^2 — a^2 \)

Решение:
Заметим, что \(x^2 — a^2 = (x — a)(x + a)\).
Домножим числитель и знаменатель на \(x + a\):
\[
\frac{y}{x — a} = \frac{y(x + a)}{(x — a)(x + a)} = \frac{y(x + a)}{x^2 — a^2}
\]
Ответ: \( \frac{y(x + a)}{x^2 — a^2} \)

в) Привести дробь \( \frac{a}{a — 10} \) к знаменателю \( 10 — a \)

Решение:
Заметим: \(10 — a = -(a — 10)\)
То есть знак знаменателя противоположен.
Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель на \(-1\):
\[
\frac{a}{a — 10} = \frac{-a}{-(a — 10)} = \frac{-a}{10 — a}
\]
Ответ: \( \frac{-a}{10 — a} \)

г) Привести дробь \( \frac{p}{p — 2} \) к знаменателю \( 4 — p^2 \)

Решение:
Заметим: \(4 — p^2 = (2 — p)(2 + p) = -(p — 2)(p + 2)\)
Значит, \( 4 — p^2 = -(p — 2)(p + 2) \)
Преобразуем:
\[
\frac{p}{p — 2} = \frac{-p(p + 2)}{-(p — 2)(p + 2)} = \frac{-p(p + 2)}{4 — p^2}
\]
Ответ: \( \frac{-p(p + 2)}{4 — p^2} \)

д) Привести дробь \( \frac{mn}{n — m} \) к знаменателю \( m^2 — n^2 \)

Решение:
Заметим: \(m^2 — n^2 = (m — n)(m + n)\)
А в дроби \(n — m = -(m — n)\), следовательно:
\[
\frac{mn}{n — m} = \frac{-mn}{m — n}
\]
Теперь домножим числитель и знаменатель на \(m + n\):
\[
\frac{-mn}{m — n} = \frac{-mn(m + n)}{(m — n)(m + n)} = \frac{-mn(m + n)}{m^2 — n^2}
\]
Ответ: \( \frac{-mn(m + n)}{m^2 — n^2} \)