ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 51 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Приведите дробь:
а) \(\frac{x}{a — b}\) к знаменателю \((a — b)^2\);
б) \(\frac{y}{x — a}\) к знаменателю \(x^2 — a^2\);
в) \(\frac{a}{a — 10}\) к знаменателю \(10 — a\);
г) \(\frac{p}{p — 2}\) к знаменателю \(4 — p^2\);
д) \(\frac{mn}{n — m}\) к знаменателю \(m^2 — n^2\).

а) \(\frac{x}{a-b} = \frac{x \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{x(a-b)}{(a-b)^2} = \frac{ax-bx}{(a-b)^2}\)

б) \(\frac{y}{x-a} = \frac{y \cdot (x+a)}{(x-a) \cdot (x+a)} = \frac{xy+ay}{x^2-a^2}\)

в) \(\frac{a}{a-10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{10-a}\)

г) \(\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-1)(2+p)}{(p-2) \cdot (-1)(2+p)} = \frac{-2p-p^2}{4-p^2}\)

д) \(\frac{mn}{n-m} = \frac{mn \cdot (-1)(m+n)}{(n-m) \cdot (-1)(m+n)} = \frac{-m^2n-mn^2}{m^2-n^2}\)

Решение алгебраических выражений:

а) \( \frac{x}{a-b} \)

1. Перепишем выражение:

\[
\frac{x}{a-b} = \frac{x \cdot (a-b)}{(a-b) \cdot (a-b)} = \frac{x(a-b)}{(a-b)^2} = \frac{ax-bx}{(a-b)^2}
\]

Шаги:

Мы умножаем и числитель, и знаменатель на \( (a-b) \), чтобы избавиться от дроби в числителе.

Затем раскроем скобки в числителе: \( ax — bx \).

И в результате получаем дробь \( \frac{ax-bx}{(a-b)^2} \).

Ответ: \( \frac{ax-bx}{(a-b)^2} \)

б) \( \frac{y}{x-a} \)

1. Перепишем выражение:

\[
\frac{y}{x-a} = \frac{y \cdot (x+a)}{(x-a) \cdot (x+a)} = \frac{xy+ay}{x^2-a^2}
\]

Шаги:

Мы умножаем числитель и знаменатель на \( (x+a) \), чтобы упростить выражение.

После умножения числителя на \( x+a \), получаем: \( y(x+a) = xy + ay \).

В знаменателе у нас появляется разность квадратов \( (x-a)(x+a) = x^2 — a^2 \).

И в итоге получается выражение \( \frac{xy+ay}{x^2-a^2} \).

Ответ: \( \frac{xy+ay}{x^2-a^2} \)

в) \( \frac{a}{a-10} \)

1. Перепишем выражение:

\[
\frac{a}{a-10} = \frac{a \cdot (-1)}{(a-10) \cdot (-1)} = \frac{-a}{10-a}
\]

Шаги:

Мы умножаем и числитель, и знаменатель на \( -1 \), чтобы изменить знак в знаменателе.

Получаем \( \frac{-a}{10-a} \), так как \( -(a-10) = 10-a \).

Ответ: \( \frac{-a}{10-a} \)

г) \( \frac{p}{p-2} \)

1. Перепишем выражение:

\[
\frac{p}{p-2} = \frac{p \cdot (-1)(2+p)}{(p-2) \cdot (-1)(2+p)} = \frac{-2p-p^2}{4-p^2}
\]

Шаги:

Мы умножаем и числитель, и знаменатель на \( (-1)(2+p) \), чтобы избавиться от знака в числителе.

В числителе получаем: \( -p(2+p) = -2p — p^2 \).

В знаменателе используем разность квадратов: \( (p-2)(2+p) = 4 — p^2 \).

В итоге получаем выражение \( \frac{-2p — p^2}{4 — p^2} \).

Ответ: \( \frac{-2p — p^2}{4 — p^2} \)

д) \( \frac{mn}{n-m} \)

1. Перепишем выражение:

\[
\frac{mn}{n-m} = \frac{mn \cdot (-1)(m+n)}{(n-m) \cdot (-1)(m+n)} = \frac{-m^2n-mn^2}{m^2-n^2}
\]

Шаги:

Мы умножаем и числитель, и знаменатель на \( (-1)(m+n) \), чтобы изменить знак в числителе.

В числителе получаем: \( -mn(m+n) = -m^2n — mn^2 \).

В знаменателе используется разность квадратов: \( (n-m)(m+n) = m^2 — n^2 \).

Таким образом, итоговое выражение: \( \frac{-m^2n — mn^2}{m^2 — n^2} \).

Ответ: \( \frac{-m^2n — mn^2}{m^2 — n^2} \)