ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 507 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения
\[
\sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}}
\]

\[
\sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}} \text{ при } 0 \leq b \leq 7
\]

\[
\sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{b} — 7)^2} + \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2}
\]

\[
= |\sqrt{b} — 7| + |\sqrt{b} + 7| = -\sqrt{b} + 7 + \sqrt{b} + 7 = 14
\]

Рассмотрим выражение:

\( \sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}} \)

где \( 0 \leq b \leq 7 \).

Шаг 1. Упростим каждое из подкоренных выражений

Подкоренные выражения:

1. \( b + 49 — 14\sqrt{b} \),
2. \( b + 49 + 14\sqrt{b} \).

Заметим, что их можно записать в виде полного квадрата:

\( b + 49 — 14\sqrt{b} = (\sqrt{b} — 7)^2 \),

\( b + 49 + 14\sqrt{b} = (\sqrt{b} + 7)^2 \).

Шаг 2. Подставим результаты в исходное выражение

Теперь выражение примет вид:

\( \sqrt{(\sqrt{b} — 7)^2} + \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2} \).

Шаг 3. Упростим корни

По свойству корня:

\( \sqrt{x^2} = |x| \),

где \( |x| \) — модуль числа \( x \). Тогда:

\( \sqrt{(\sqrt{b} — 7)^2} = |\sqrt{b} — 7| \),

\( \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2} = |\sqrt{b} + 7| \).

Шаг 4. Раскроем модули

1. Для \( |\sqrt{b} — 7| \):
   При \( 0 \leq b \leq 7 \), \(\sqrt{b} \leq 7\), поэтому:

   \( |\sqrt{b} — 7| = 7 — \sqrt{b} \).

2. Для \( |\sqrt{b} + 7| \):
   Всегда \(\sqrt{b} + 7 \geq 0\), поэтому:

   \( |\sqrt{b} + 7| = \sqrt{b} + 7 \).

Шаг 5. Сложим результаты

Подставим значения модулей:

\( |\sqrt{b} — 7| + |\sqrt{b} + 7| = (7 — \sqrt{b}) + (\sqrt{b} + 7) \).

Сократим:

\( 7 — \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14 \).

Ответ

Значение выражения равно:

14