Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 507 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значение выражения
\[
\sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}}
\]
\[
\sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}} \text{ при } 0 \leq b \leq 7
\]
\[
\sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}} = \sqrt{(\sqrt{b} — 7)^2} + \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2}
\]
\[
= |\sqrt{b} — 7| + |\sqrt{b} + 7| = -\sqrt{b} + 7 + \sqrt{b} + 7 = 14
\]
Рассмотрим выражение:
\( \sqrt{b + 49 — 14\sqrt{b}} + \sqrt{b + 49 + 14\sqrt{b}} \)
где \( 0 \leq b \leq 7 \).
Шаг 1. Упростим каждое из подкоренных выражений
Подкоренные выражения:
- \( b + 49 — 14\sqrt{b} \),
- \( b + 49 + 14\sqrt{b} \).
Заметим, что их можно записать в виде полного квадрата:
\( b + 49 — 14\sqrt{b} = (\sqrt{b} — 7)^2 \),
\( b + 49 + 14\sqrt{b} = (\sqrt{b} + 7)^2 \).
Шаг 2. Подставим результаты в исходное выражение
Теперь выражение примет вид:
\( \sqrt{(\sqrt{b} — 7)^2} + \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2} \).
Шаг 3. Упростим корни
По свойству корня:
\( \sqrt{x^2} = |x| \),
где \( |x| \) — модуль числа \( x \). Тогда:
\( \sqrt{(\sqrt{b} — 7)^2} = |\sqrt{b} — 7| \),
\( \sqrt{(\sqrt{b} + 7)^2} = |\sqrt{b} + 7| \).
Шаг 4. Раскроем модули
- Для \( |\sqrt{b} — 7| \):
При \( 0 \leq b \leq 7 \), \(\sqrt{b} \leq 7\), поэтому:\( |\sqrt{b} — 7| = 7 — \sqrt{b} \).
- Для \( |\sqrt{b} + 7| \):
Всегда \(\sqrt{b} + 7 \geq 0\), поэтому:\( |\sqrt{b} + 7| = \sqrt{b} + 7 \).
Шаг 5. Сложим результаты
Подставим значения модулей:
\( |\sqrt{b} — 7| + |\sqrt{b} + 7| = (7 — \sqrt{b}) + (\sqrt{b} + 7) \).
Сократим:
\( 7 — \sqrt{b} + \sqrt{b} + 7 = 14 \).
Ответ
Значение выражения равно:
14
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.