Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 506 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
a)
\[
\left( \frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{y — 1}{2};
\]
б)
\[
\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2}.
\]
a)
\[
\left( \frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{y — 1}{2} = \frac{-1}{x}.
\]
1)
\[
\frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} = \frac{x — x\sqrt{y}}{(x + x\sqrt{y})(x — x\sqrt{y})} + \frac{x + x\sqrt{y}}{(x — x\sqrt{y})(x + x\sqrt{y})}.
\]
\[
= \frac{x — x\sqrt{y} + x + x\sqrt{y}}{x^2 — x^2y} = \frac{2x}{x(x — xy)} = \frac{2}{x — xy}.
\]
2)
\[
\frac{2}{x — xy} \cdot \frac{y — 1}{2} = \frac{y — 1}{x — xy} = \frac{-x(y — 1)}{x} = \frac{-1}{x}.
\]
б)
\[
\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2} = \sqrt{ab} — \sqrt{ba}.
\]
1)
\[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) — \sqrt{a}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}.
\]
\[
= \frac{a + \sqrt{ab} — a + \sqrt{ab}}{a — b} = \frac{2\sqrt{ab}}{a — b}.
\]
2)
\[
\frac{2\sqrt{ab}}{a — b} \cdot \frac{(b — a)^2}{2} = \sqrt{ab}(a — b) = \sqrt{ab} — \sqrt{ba}.
\]
Часть (a)
\[
\left( \frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{y — 1}{2}.
\]
Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:
\frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} =
\frac{x — x\sqrt{y}}{(x + x\sqrt{y})(x — x\sqrt{y})} +
\frac{x + x\sqrt{y}}{(x — x\sqrt{y})(x + x\sqrt{y})}.
\]
Шаг 2: Суммируем числители:
\frac{x — x\sqrt{y} + x + x\sqrt{y}}{x^2 — x^2y} =
\frac{2x}{x(x — xy)}.
\]
Шаг 3: Упрощаем дробь:
\frac{2}{x — xy}.
\]
Шаг 4: Умножаем на \(\frac{y — 1}{2}\):
\frac{2}{x — xy} \cdot \frac{y — 1}{2} = \frac{y — 1}{x — xy}.
\]
Шаг 5: Упрощаем окончательно:
\[
\frac{y — 1}{x — xy} = \frac{-1}{x}.
\]
Часть (б)
\[
\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2}.
\]
Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} =
\frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) — \sqrt{a}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}.
\]
Шаг 2: Раскрываем скобки в числителе:
\frac{a + \sqrt{ab} — a + \sqrt{ab}}{a — b} = \frac{2\sqrt{ab}}{a — b}.
\]
Шаг 3: Умножаем на \(\frac{(b — a)^2}{2}\):
\frac{2\sqrt{ab}}{a — b} \cdot \frac{(b — a)^2}{2}.
\]
Шаг 4: Упрощаем выражение:
\[
\sqrt{ab}(a — b) = \sqrt{ab} — \sqrt{ba}.
\]
Ответы:
- Часть (a): \(\frac{-1}{x}\)
- Часть (б): \(\sqrt{ab} — \sqrt{ba}\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.