ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 506 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Упростите выражение:

a)
\[
\left( \frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{y — 1}{2};
\]

б)
\[
\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2}.
\]

a)
\[
\left( \frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} \right) \cdot \frac{y — 1}{2} = \frac{-1}{x}.
\]

1)
\[
\frac{1}{x + x\sqrt{y}} + \frac{1}{x — x\sqrt{y}} = \frac{x — x\sqrt{y}}{(x + x\sqrt{y})(x — x\sqrt{y})} + \frac{x + x\sqrt{y}}{(x — x\sqrt{y})(x + x\sqrt{y})}.
\]

\[
= \frac{x — x\sqrt{y} + x + x\sqrt{y}}{x^2 — x^2y} = \frac{2x}{x(x — xy)} = \frac{2}{x — xy}.
\]

2)
\[
\frac{2}{x — xy} \cdot \frac{y — 1}{2} = \frac{y — 1}{x — xy} = \frac{-x(y — 1)}{x} = \frac{-1}{x}.
\]

б)
\[
\left( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} \right) \cdot \frac{(b — a)^2}{2} = \sqrt{ab} — \sqrt{ba}.
\]

1)
\[
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} — \sqrt{b}} — \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}(\sqrt{a} + \sqrt{b}) — \sqrt{a}(\sqrt{a} — \sqrt{b})}{(\sqrt{a} — \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b})}.
\]

\[
= \frac{a + \sqrt{ab} — a + \sqrt{ab}}{a — b} = \frac{2\sqrt{ab}}{a — b}.
\]

2)
\[
\frac{2\sqrt{ab}}{a — b} \cdot \frac{(b — a)^2}{2} = \sqrt{ab}(a — b) = a\sqrt{b} — b\sqrt{a}
\]

Часть (a)

Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:

Шаг 2: Суммируем числители:

Шаг 3: Упрощаем дробь:

Шаг 4: Умножаем на \(\frac{y — 1}{2}\):

Шаг 5: Упрощаем окончательно:

\[
\frac{y — 1}{x — xy} = \frac{-1}{x}.
\]

Часть (б)

Шаг 1: Приводим дроби к общему знаменателю:

Шаг 2: Раскрываем скобки в числителе:

Шаг 3: Умножаем на \(\frac{(b — a)^2}{2}\):

Шаг 4: Упрощаем выражение:

\[
\sqrt{ab}(a — b) = a\sqrt{b} — b\sqrt{a}.
\]

Ответы:

• Часть (a): \(\frac{-1}{x}\)
• Часть (б): \(a\sqrt{b} — b\sqrt{a}\)