Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 503 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
а)
\[
\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1};
\]
б)
\[
\frac{1}{\sqrt{5} — \sqrt{3} + 2}.\]
а)
\[
\frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3} + 1} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{3} — 1}{4 + 2\sqrt{6}} = \frac{2 + \sqrt{2} — \sqrt{6}}{4}.
\]
б)
\[
\frac{1}{\sqrt{5} — \sqrt{3} + 2} = \frac{\sqrt{5} — \sqrt{3} — 2}{4 — 2\sqrt{15}} = \frac{4 + \sqrt{5} — 3\sqrt{3} + 2\sqrt{15}}{22}.
\]
а) Упростить дробь:
Дана дробь: 1 / (√2 + √3 + 1).
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение
(√2 + √3 — 1):
1 / (√2 + √3 + 1) = (√2 + √3 — 1) / ((√2 + √3 + 1)(√2 + √3 — 1)).
В знаменателе раскроем формулу разности квадратов:
(√2 + √3)^2 — 1 = 2 + 3 + 2√6 — 1 = 4 + 2√6.
Теперь дробь принимает вид:
(√2 + √3 — 1) / (4 + 2√6).
Домножим числитель и знаменатель на (2 — √6):
((√2 + √3 — 1)(2 — √6)) / ((4 + 2√6)(2 — √6)).
Раскроем скобки в числителе:
√2 * 2 — √2 * √6 + √3 * 2 — √3 * √6 — 2 + √6 = 2√2 — √12 + 2√3 — 3√2 — 2 + √6.
Приведём подобные слагаемые:
-√2 + 2√3 — √6 — 2.
В знаменателе:
4 — 6 = -2.
Окончательный результат:
(2 + √2 — √6) / 4.
б) Упростить дробь:
Дана дробь: 1 / (√5 — √3 + 2).
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение
(√5 — √3 — 2):
1 / (√5 — √3 + 2) = (√5 — √3 — 2) / ((√5 — √3 + 2)(√5 — √3 — 2)).
В знаменателе раскроем формулу разности квадратов:
(√5 — √3)^2 — 4 = 5 — 2√15 + 3 — 4 = 4 — 2√15.
Теперь дробь принимает вид:
(√5 — √3 — 2) / (4 — 2√15).
Домножим числитель и знаменатель на (2 + √15):
((√5 — √3 — 2)(2 + √15)) / ((4 — 2√15)(2 + √15)).
Раскроем скобки в числителе:
√5 * 2 + √5 * √15 — √3 * 2 — √3 * √15 — 4 — 2√15.
Приведём подобные слагаемые:
-4 + √5 — 3√3 + 2√15.
В знаменателе:
4 — 15 = -11.
Окончательный результат:
(4 + √5 — 3√3 + 2√15) / 22.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.