Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 502 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Освободитесь от иррациональности в числителе дроби:
a)
\[
\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt{x}}
\]
б)
\[
\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}
\]
в)
\[
\frac{7 — \sqrt{a}}{49 — 7\sqrt{a} + a}
\]
г)
\[
\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1}
\]
a)
\[
\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt{x}} = \frac{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{x — y}{x + \sqrt{xy}}
\]
б)
\[
\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}} = \frac{(a + \sqrt{b})(a — \sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a — \sqrt{b})} = \frac{a^2 — b}{a^2\sqrt{b} — ab}
\]
в)
\[
\frac{7 — \sqrt{a}}{49 — 7\sqrt{a} + a} = \frac{(7 — \sqrt{a})(7 + \sqrt{a})}{(49 — 7\sqrt{a} + a)(7 + \sqrt{a})} = \frac{49 — a}{343 + a\sqrt{a}}
\]
г)
\[
\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1} = \frac{(\sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} — 1)}{(mn + \sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} — 1)} = \frac{mn — 1}{mn\sqrt{mn} -1}
\]
а)
Упростим выражение:
\[
\frac{\sqrt{x} — \sqrt{y}}{\sqrt{x}}
\]
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \((\sqrt{x} + \sqrt{y})\):
\[
\frac{(\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}(\sqrt{x} + \sqrt{y})}
\]
Раскроем скобки:
Числитель: \(x — y\)
Знаменатель: \(x + \sqrt{xy}\)
После упрощения получаем:
\[
\frac{x — y}{x + \sqrt{xy}}
\]
б)
Упростим выражение:
\[
\frac{a + \sqrt{b}}{a\sqrt{b}}
\]
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \((a — \sqrt{b})\):
\[
\frac{(a + \sqrt{b})(a — \sqrt{b})}{a\sqrt{b}(a — \sqrt{b})}
\]
Раскроем скобки:
Числитель: \(a^2 — b\)
Знаменатель: \(a^2\sqrt{b} — ab\)
После упрощения получаем:
\[
\frac{a^2 — b}{a^2\sqrt{b} — ab}
\]
в)
Упростим выражение:
\[
\frac{7 — \sqrt{a}}{49 — 7\sqrt{a} + a}
\]
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \((7 + \sqrt{a})\):
\[
\frac{(7 — \sqrt{a})(7 + \sqrt{a})}{(49 — 7\sqrt{a} + a)(7 + \sqrt{a})}
\]
Раскроем скобки:
Числитель: \(49 — a\)
Знаменатель: \(343 + a\sqrt{a}\)
После упрощения получаем:
\[
\frac{49 — a}{343 + a\sqrt{a}}
\]
г)
Упростим выражение:
\[
\frac{\sqrt{mn} + 1}{mn + \sqrt{mn} + 1}
\]
Домножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \((\sqrt{mn} — 1)\):
\[
\frac{(\sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} — 1)}{(mn + \sqrt{mn} + 1)(\sqrt{mn} — 1)}
\]
Раскроем скобки:
Числитель: \(mn — 1\)
Знаменатель: \(mn\sqrt{mn} — 1\)
После упрощения получаем:
\[
\frac{mn — 1}{mn\sqrt{mn} — 1}
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.