ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 501 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) \( \frac{x — \sqrt{xy + y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \);

б) \( \frac{1 — 2\sqrt{x} + 4x}{1 — 2\sqrt{x}} \);

в) \( \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} \);

г) \( \frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2} \).

a) \( \frac{x — \sqrt{xy + y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} = \frac{(x — \sqrt{xy + y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{(x — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})} = \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x — y} \)

б) \( \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} = \frac{(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 — \sqrt{a})}{(3 + \sqrt{a})(3 — \sqrt{a})} = \frac{27 — 9\sqrt{a} + 9a — 3a\sqrt{a}}{9 — a} = \frac{27 — a\sqrt{a}}{9 — a} \)

в) \( \frac{1 — 2\sqrt{x} + 4x}{1 — 2\sqrt{x}} = \frac{(1 — 2\sqrt{x} + 4x)(1 + 2\sqrt{x})}{(1 — 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x})} = \frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 — 4x} \)

г) \( \frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2} = \frac{(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} — 2)}{(a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} — 2)} = \frac{a^3b — 2a^2b + 2a^2b — 4a\sqrt{b} + 4a\sqrt{b} — 8}{a^2b — 4} =\)

\(\frac{a^3b\sqrt{b} — 8}{a^2b — 4} \)

Задача: Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:

a) \( \frac{x — \sqrt{xy + y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \):

Для освобождения от иррациональности в знаменателе нужно умножить числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю.

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на \( \sqrt{x} + \sqrt{y} \) (сопряжённое выражение к знаменателю):

\( \frac{x — \sqrt{xy + y}}{\sqrt{x} — \sqrt{y}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \)

Шаг 2: Вычисляем числитель и знаменатель:

Числитель: \( (x — \sqrt{xy + y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) \)

Знаменатель: \( (\sqrt{x} — \sqrt{y})(\sqrt{x} + \sqrt{y}) = x — y \) (разность квадратов)

Получаем:

\( \frac{(x — \sqrt{xy + y})(\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x — y} \)

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе:

Числитель: \( x\sqrt{x} + y\sqrt{y} — \sqrt{xy + y} \cdot \sqrt{x} — \sqrt{xy + y} \cdot \sqrt{y} \)

Упрощаем: \( \frac{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}{x — y} \)

b) \( \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} \):

Аналогично, умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю — \( 3 — \sqrt{a} \):

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на \( 3 — \sqrt{a} \):

\( \frac{9 + 3\sqrt{a} + a}{3 + \sqrt{a}} \cdot \frac{3 — \sqrt{a}}{3 — \sqrt{a}} \)

Шаг 2: Вычисляем числитель и знаменатель:

Числитель: \( (9 + 3\sqrt{a} + a)(3 — \sqrt{a}) \)

Знаменатель: \( (3 + \sqrt{a})(3 — \sqrt{a}) = 9 — a \) (разность квадратов)

Получаем:

\( \frac{(9 + 3\sqrt{a} + a)(3 — \sqrt{a})}{9 — a} \)

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе:

Числитель: \( 27 — 9\sqrt{a} + 9a — 3a\sqrt{a} \)

Упрощаем: \( \frac{27 — a\sqrt{a}}{9 — a} \)

в) \( \frac{1 — 2\sqrt{x} + 4x}{1 — 2\sqrt{x}} \):

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 1 + 2\sqrt{x} \):

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на \( 1 + 2\sqrt{x} \):

\( \frac{1 — 2\sqrt{x} + 4x}{1 — 2\sqrt{x}} \cdot \frac{1 + 2\sqrt{x}}{1 + 2\sqrt{x}} \)

Шаг 2: Вычисляем числитель и знаменатель:

Числитель: \( (1 — 2\sqrt{x} + 4x)(1 + 2\sqrt{x}) \)

Знаменатель: \( (1 — 2\sqrt{x})(1 + 2\sqrt{x}) = 1 — 4x \) (разность квадратов)

Получаем:

\( \frac{(1 — 2\sqrt{x} + 4x)(1 + 2\sqrt{x})}{1 — 4x} \)

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе:

Числитель: \( 1 + 8x\sqrt{x} + 4x — 2\sqrt{x} \)

Упрощаем: \( \frac{1 + 8x\sqrt{x}}{1 — 4x} \)

г) \( \frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2} \):

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( a\sqrt{b} — 2 \):

Шаг 1: Умножаем числитель и знаменатель на \( a\sqrt{b} — 2 \):

\( \frac{a^2b + 2a\sqrt{b} + 4}{a\sqrt{b} + 2} \cdot \frac{a\sqrt{b} — 2}{a\sqrt{b} — 2} \)

Шаг 2: Вычисляем числитель и знаменатель:

Числитель: \( (a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} — 2) \)

Знаменатель: \( (a\sqrt{b} + 2)(a\sqrt{b} — 2) = a^2b — 4 \) (разность квадратов)

Получаем:

\( \frac{(a^2b + 2a\sqrt{b} + 4)(a\sqrt{b} — 2)}{a^2b — 4} \)

Шаг 3: Раскрываем скобки в числителе:

Числитель: \( a^3b — 2a^2b + 2a^2b — 4a\sqrt{b} + 4a\sqrt{b} — 8 \)

Упрощаем: \( \frac{a^3b\sqrt{b} — 8}{a^2b — 4} \)