ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 494 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение дроби
\[
\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2}
\]
при \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(y = 3 — \sqrt{5}\).

\[
\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2}
\]
при \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(y = 3 — \sqrt{5}\)

\[
\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2} = \frac{(3 + \sqrt{5})^2 — 3(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5}) + (3 — \sqrt{5})^2}{3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} + 2}
\]

\[
= \frac{9 + 6\sqrt{5} + 5 — 3(9 — 5) + 9 — 6\sqrt{5} + 5}{8}
\]

\[
= \frac{14 — 27 + 15 + 14}{8}
\]

\[
= \frac{28 — 12}{8}
\]

\[
= \frac{16}{8} = 2
\]

Дано выражение:

\[
\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2}
\]

При \(x = 3 + \sqrt{5}\) и \(y = 3 — \sqrt{5}\).

Шаг 1. Подставим значения \(x\) и \(y\) в выражение:

\[
\frac{x^2 — 3xy + y^2}{x + y + 2} =
\frac{(3 + \sqrt{5})^2 — 3(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5}) + (3 — \sqrt{5})^2}{3 + \sqrt{5} + 3 — \sqrt{5} + 2}
\]

Шаг 2. Раскроем скобки в числителе:

Вычислим каждую часть числителя отдельно:

• \((3 + \sqrt{5})^2 = 9 + 6\sqrt{5} + 5 = 14 + 6\sqrt{5}\)
• \((3 — \sqrt{5})^2 = 9 — 6\sqrt{5} + 5 = 14 — 6\sqrt{5}\)
• \(-3(3 + \sqrt{5})(3 — \sqrt{5}) = -3(9 — 5) = -3 \cdot 4 = -12\)

Подставляем обратно в числитель:

\[
(14 + 6\sqrt{5}) — 12 + (14 — 6\sqrt{5}) = 14 + 14 — 12 = 28 — 12 = 16
\]

Шаг 3. Найдем знаменатель:

\[
x + y + 2 = (3 + \sqrt{5}) + (3 — \sqrt{5}) + 2 = 3 + 3 + 2 = 8
\]

Шаг 4. Найдем значение всего выражения:

\[
\frac{16}{8} = 2
\]

Ответ:

\[
2
\]