Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 493 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
а)
\[
\frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} — \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}};
\]
б)
\[
\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 — 2\sqrt{2}};
\]
в)
\[
\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}};
\]
г)
\[
\frac{11 + \sqrt{21}}{11 — \sqrt{21}} + \frac{11 — \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}}.
\]
а) \( 4\sqrt{30} \)
б) \( 30 \)
в) \( 8 \)
г) \( 2.84 \)
а)
\[
\frac{1}{11 — 2\sqrt{30}} — \frac{1}{11 + 2\sqrt{30}}
\]
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{(11 + 2\sqrt{30}) — (11 — 2\sqrt{30})}{(11 + 2\sqrt{30})(11 — 2\sqrt{30})}
\]
В числителе: (11 + 2\sqrt{30}) - (11 - 2\sqrt{30}) = 4\sqrt{30}.
В знаменателе: (11 + 2\sqrt{30})(11 - 2\sqrt{30}) = 121 - 120 = 1.
Итог:
\[
\frac{4\sqrt{30}}{1} = 4\sqrt{30}.
\]
б)
\[
\frac{5}{3 + 2\sqrt{2}} + \frac{5}{3 — 2\sqrt{2}}
\]
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{5(3 — 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2})}{(3 + 2\sqrt{2})(3 — 2\sqrt{2})}
\]
В числителе: 5(3 - 2\sqrt{2}) + 5(3 + 2\sqrt{2}) = 15 - 10\sqrt{2} + 15 + 10\sqrt{2} = 30.
В знаменателе: (3 + 2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = 9 - 8 = 1.
Итог:
\[
\frac{30}{1} = 30.
\]
в)
\[
\frac{\sqrt{5} — \sqrt{3}}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} + \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}
\]
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{(\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2}{(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} — \sqrt{3})}
\]
Числитель:
\[
(\sqrt{5} — \sqrt{3})^2 + (\sqrt{5} + \sqrt{3})^2 = 5 — 2\sqrt{15} + 3 + 5 + 2\sqrt{15} + 3 = 16.
\]
Знаменатель:
\[
(\sqrt{5} + \sqrt{3})(\sqrt{5} — \sqrt{3}) = 5 — 3 = 2.
\]
Итог:
\[
\frac{16}{2} = 8.
\]
г)
\[
\frac{11 + \sqrt{21}}{11 — \sqrt{21}} + \frac{11 — \sqrt{21}}{11 + \sqrt{21}}
\]
Приведём дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{(11 + \sqrt{21})^2 + (11 — \sqrt{21})^2}{(11 + \sqrt{21})(11 — \sqrt{21})}
\]
Числитель:
\[
(11 + \sqrt{21})^2 + (11 — \sqrt{21})^2 = 121 + 22\sqrt{21} +\]
\[21 + 121 — 22\sqrt{21} + 21 = 284.
\]
Знаменатель:
\[
(11 + \sqrt{21})(11 — \sqrt{21}) = 121 — 21 = 100.
\]
Итог:
\[
\frac{284}{100} = 2.84.
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.