Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 491 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значения выражений
\(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 — 4\sqrt{3}}\) и \(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 — 4\sqrt{3}}\)
\(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{4 + 3 — 4\sqrt{3}} =\)
\((\sqrt{2 + \sqrt{3}})^2 + (\sqrt{2 — \sqrt{3}})^2 =\)
\(|2 + \sqrt{3}| + |2 — \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3} + 2 — \sqrt{3} = 4\) — натуральное число.
\(\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 — 4\sqrt{3})} = \sqrt{7^2 — (4\sqrt{3})^2} =\)
\(\sqrt{49 — 16 \cdot 3} = \sqrt{49 — 48} = \sqrt{1} = 1\) — натуральное число.
1. Выражение: √(7 + 4√3) + √(7 - 4√3)
Рассмотрим отдельно каждое подкоренное выражение:
- \(7 + 4\sqrt{3} = 4 + 3 + 4\sqrt{3}\)
- \(7 — 4\sqrt{3} = 4 + 3 — 4\sqrt{3}\)
Тогда:
\[
\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{4 + 3 + 4\sqrt{3}} + \sqrt{4 + 3 — 4\sqrt{3}}
\]
Представим каждое подкоренное выражение в виде квадрата:
- \(\sqrt{4 + 3 + 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 + \sqrt{3})^2} = |2 + \sqrt{3}|\)
- \(\sqrt{4 + 3 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{(2 — \sqrt{3})^2} = |2 — \sqrt{3}|\)
Суммируем результаты:
\[
|2 + \sqrt{3}| + |2 — \sqrt{3}| = 2 + \sqrt{3} + 2 — \sqrt{3} = 4
\]
Ответ: значение выражения равно \(4\) — натуральное число.
2. Выражение: √(7 + 4√3) · √(7 - 4√3)
Используем свойство корня: \(\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}\).
Тогда:
\[
\sqrt{7 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{7 — 4\sqrt{3}} = \sqrt{(7 + 4\sqrt{3})(7 — 4\sqrt{3})}
\]
Воспользуемся формулой разности квадратов:
\[
(7 + 4\sqrt{3})(7 — 4\sqrt{3}) = 7^2 — (4\sqrt{3})^2
\]
Вычислим каждое слагаемое:
- \(7^2 = 49\)
- \((4\sqrt{3})^2 = 16 \cdot 3 = 48\)
Подставим значения:
\[
7^2 — (4\sqrt{3})^2 = 49 — 48 = 1
\]
Тогда:
\[
\sqrt{1} = 1
\]
Ответ: значение выражения равно \(1\) — натуральное число.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.