ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 489 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что:
a) \( \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2} \);
б) \( \sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4 \).

a) \( \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = 2 + \sqrt{2} \)
\( \sqrt{6 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{2 + 4 + 4\sqrt{2}} = \sqrt{(2 + \sqrt{2})^2} = |2 + \sqrt{2}| = 2 + \sqrt{2} \). Доказано.

б) \( \sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{3} + 4 \)
\( \sqrt{8\sqrt{3} + 19} = \sqrt{16 + 3 + 8\sqrt{3}} = \sqrt{(4 + \sqrt{3})^2} = |4 + \sqrt{3}| = 4 + \sqrt{3} \). Доказано.

Часть (a): √(6 + 4√2) = 2 + √2

Доказательство:
Исходное выражение: √(6 + 4√2).

1. Представим число под корнем:
   6 + 4√2 = 2 + 4 + 4√2.
2. Заметим, что это квадрат суммы:
   6 + 4√2 = (2 + √2)².
3. Возьмем квадратный корень:
   √(6 + 4√2) = √((2 + √2)²).
4. Корень из квадрата равен модулю:
   √((2 + √2)²) = |2 + √2|.
5. Так как 2 + √2 > 0, то:
   |2 + √2| = 2 + √2.

Итак, доказано, что √(6 + 4√2) = 2 + √2.

Часть (б): √(8√3 + 19) = √3 + 4

Доказательство:
Исходное выражение: √(8√3 + 19).

1. Представим число под корнем:
   8√3 + 19 = 16 + 3 + 8√3.
2. Заметим, что это квадрат суммы:
   8√3 + 19 = (4 + √3)².
3. Возьмем квадратный корень:
   √(8√3 + 19) = √((4 + √3)²).
4. Корень из квадрата равен модулю:
   √((4 + √3)²) = |4 + √3|.
5. Так как 4 + √3 > 0, то:
   |4 + √3| = 4 + √3.

Итак, доказано, что √(8√3 + 19) = √3 + 4.