ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 480 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Преобразуйте выражение:

а) \( \sqrt{a^4b^4} \);
б) \( \sqrt{b^6c^8}, \, \text{где } b > 0 \);
в) \( \sqrt{16x^4y^{12}} \);
г) \( \sqrt{0,25p^2y^6}, \, \text{где } p \geq 0, \, y \leq 0 \);
д) \( \sqrt{\frac{p^4}{a^8}} \);
е) \( \sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}, \, \text{где } b > 0 \);
ж) \( \sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}, \, \text{где } x < 0, \, y < 0 \);
з) \( \sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}, \, \text{где } c < 0, \, a > 0 \).

а) \( \sqrt{a^4b^4} = \sqrt{(a^2b^2)^2} = a^2b^2 \)

б) \( \sqrt{b^6c^8}, \, \text{где } b \geq 0 \)
\( \sqrt{b^6c^8} = \sqrt{(b^3c^4)^2} = b^3c^4 \)

в) \( \sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{(4x^2y^6)^2} = 4x^2y^6 \)

г) \( \sqrt{0,25p^2y^6}, \, \text{где } p \geq 0, \, y \leq 0 \)
\( \sqrt{0,25p^2y^6} = \sqrt{(0,5py^3)^2} = 0,5|p| \cdot |y^3| = -0,5py^3 \)

д) \( \sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \sqrt{\left(\frac{p^2}{a^4}\right)^2} = \frac{p^2}{a^4} \)

е) \( \sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}, \, \text{где } b > 0 \)
\( \sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}} = \frac{4a^6}{b^5} \)

ж) \( \sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}, \, \text{где } x < 0, \, y < 0 \)
\( \sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}} = \frac{2|x|}{|y^3|} = \frac{-2x}{-y^3} = -\frac{2x}{y^3} \)

з) \( \sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}, \, \text{где } c < 0, \, a > 0 \)
\( \sqrt{\frac{c^6}{9a^2}} = \frac{\sqrt{c^6}}{\sqrt{9a^2}} = \frac{|c^3|}{3a} = \frac{-c^3}{3a} \)

а) \(\sqrt{a^4b^4}\)

Рассмотрим выражение \(\sqrt{a^4b^4}\).
Корень из произведения можно представить как произведение корней:
\[
\sqrt{a^4b^4} = \sqrt{a^4} \cdot \sqrt{b^4}.
\]
Корень четной степени из четной степени числа равен основанию в степени, деленной на 2:
\[
\sqrt{a^4} = a^2, \quad \sqrt{b^4} = b^2.
\]
Таким образом,
\[
\sqrt{a^4b^4} = a^2b^2.
\]

б) \(\sqrt{b^6c^8}, \, \text{где } b \geq 0\)

Рассмотрим выражение \(\sqrt{b^6c^8}\).
Разделим степени на четные множители:
\[
\sqrt{b^6c^8} = \sqrt{(b^3c^4)^2}.
\]
Корень квадратный и квадрат взаимно уничтожаются:
\[
\sqrt{(b^3c^4)^2} = b^3c^4.
\]
Так как \(b \geq 0\), модуль не требуется.

в) \(\sqrt{16x^4y^{12}}\)

Разделим подкоренное выражение на множители:
\[
\sqrt{16x^4y^{12}} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{x^4} \cdot \sqrt{y^{12}}.
\]
Вычислим каждый корень:
\[
\sqrt{16} = 4, \quad \sqrt{x^4} = x^2, \quad \sqrt{y^{12}} = y^6.
\]
Таким образом,
\[
\sqrt{16x^4y^{12}} = 4x^2y^6.
\]

г) \(\sqrt{0,25p^2y^6}, \, \text{где } p \geq 0, \, y \leq 0\)

Разделим выражение на множители:
\[
\sqrt{0,25p^2y^6} = \sqrt{0,25} \cdot \sqrt{p^2} \cdot \sqrt{y^6}.
\]
Вычислим каждый корень:
\[
\sqrt{0,25} = 0,5, \quad \sqrt{p^2} = |p|, \quad \sqrt{y^6} = |y^3|.
\]
Так как \(p \geq 0\), модуль \(p\) равен \(p\).
А так как \(y \leq 0\), модуль \(y^3\) равен \(-y^3\).
Подставим значения:
\[
\sqrt{0,25p^2y^6} = 0,5 \cdot p \cdot (-y^3) = -0,5py^3.
\]

д) \(\sqrt{\frac{p^4}{a^8}}\)

Разделим дробь на множители:
\[
\sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{\sqrt{p^4}}{\sqrt{a^8}}.
\]
Вычислим каждый корень:
\[
\sqrt{p^4} = p^2, \quad \sqrt{a^8} = a^4.
\]
Таким образом,
\[
\sqrt{\frac{p^4}{a^8}} = \frac{p^2}{a^4}.
\]

е) \(\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}}, \, \text{где } b > 0\)

Разделим дробь на множители:
\[
\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{\sqrt{16a^{12}}}{\sqrt{b^{10}}}.
\]
Вычислим числитель и знаменатель отдельно:
\[
\sqrt{16a^{12}} = 4a^6, \quad \sqrt{b^{10}} = b^5.
\]
Подставим значения:
\[
\sqrt{\frac{16a^{12}}{b^{10}}} = \frac{4a^6}{b^5}.
\]

ж) \(\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}}, \, \text{где } x < 0, \, y < 0\)

Разделим дробь на множители:
\[
\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{\sqrt{4x^2}}{\sqrt{y^6}}.
\]
Вычислим числитель и знаменатель:
\[
\sqrt{4x^2} = 2|x|, \quad \sqrt{y^6} = |y^3|.
\]
Так как \(x < 0\), модуль \(x\) равен \(-x\).
А так как \(y < 0\), модуль \(y^3\) равен \(-y^3\).
Подставим значения:
\[
\sqrt{\frac{4x^2}{y^6}} = \frac{2(-x)}{-y^3} = -\frac{2x}{y^3}.
\]

з) \(\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}}, \, \text{где } c < 0, \, a > 0\)

Разделим дробь на множители:
\[
\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}} = \frac{\sqrt{c^6}}{\sqrt{9a^2}}.
\]
Вычислим числитель и знаменатель:
\[
\sqrt{c^6} = |c^3|, \quad \sqrt{9a^2} = 3a.
\]
Так как \(c < 0\), модуль \(c^3\) равен \(-c^3\).
Подставим значения:
\[
\sqrt{\frac{c^6}{9a^2}} = \frac{-c^3}{3a}.
\]