Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 48 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что значение дроби не зависит от \( n \), где \( n \) — натуральное число:
а) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\);
б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)}\).
a) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} = \frac{3^n(3^2-1)}{3^n(3^2 + 3^1 + 1)} =\)
\(\frac{9-1}{9+3+1} = \frac{8}{13}\)
б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)} = \frac{(2^4)^{n+1} — 2^{n+4}}{2^2 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)} =\)
\(\frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)}\)
\[= \frac{2^{n+4}(2^{3n} — 1)}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)} = \frac{2^{n+4}}{2^{2+n}} = 2^{n+4-2-n} = 2^2 = 4\]
а) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\)
Мы начнем с сокращения общего множителя \(3^n\) в числителе и знаменателе:
\[
\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} = \frac{3^n \cdot 3^2 — 3^n}{3^n \cdot 3^2 + 3^n \cdot 3 + 3^n}
\]
Сокращаем \(3^n\):
\[
= \frac{3^2 — 1}{3^2 + 3 + 1} = \frac{9 — 1}{9 + 3 + 1} = \frac{8}{13}
\]
б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)}\)
Преобразуем \(16^{n+1}\) в \(2^{4(n+1)}\):
\[
\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)} = \frac{(2^4)^{n+1} — 2^{n+4}}{2^2 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)}
\]
Упрощаем выражение:
\[
= \frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)}
\]
Сокращаем общий множитель \(2^{n+4}\):
\[
= \frac{2^{n+4}(2^{3n} — 1)}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)} = \frac{2^{n+4}}{2^{2+n}} = 2^{n+4-2-n} = 2^2 = 4
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.