ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 48 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что значение дроби не зависит от \( n \), где \( n \) — натуральное число:

а) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\);

б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n (2^{3n} — 1)}\).

a) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} = \frac{3^n(3^2-1)}{3^n(3^2 + 3^1 + 1)} =\)

\(\frac{9-1}{9+3+1} = \frac{8}{13}\)

б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)} = \frac{(2^4)^{n+1} — 2^{n+4}}{2^2 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)} =\)

\(\frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)}\)

\[= \frac{2^{n+4}(2^{3n} — 1)}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)} = \frac{2^{n+4}}{2^{2+n}} = 2^{n+4-2-n} = 2^2 = 4\]

а) \(\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n}\)

Мы начнем с сокращения общего множителя \(3^n\) в числителе и знаменателе:

\[
\frac{3^{n+2} — 3^n}{3^{n+2} + 3^{n+1} + 3^n} = \frac{3^n \cdot 3^2 — 3^n}{3^n \cdot 3^2 + 3^n \cdot 3 + 3^n}
\]

Сокращаем \(3^n\):

\[
= \frac{3^2 — 1}{3^2 + 3 + 1} = \frac{9 — 1}{9 + 3 + 1} = \frac{8}{13}
\]

б) \(\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)}\)

Преобразуем \(16^{n+1}\) в \(2^{4(n+1)}\):

\[
\frac{16^{n+1} — 2^{n+4}}{4 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)} = \frac{(2^4)^{n+1} — 2^{n+4}}{2^2 \cdot 2^n(2^{3n} — 1)}
\]

Упрощаем выражение:

\[
= \frac{2^{4n+4} — 2^{n+4}}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)}
\]

Сокращаем общий множитель \(2^{n+4}\):

\[
= \frac{2^{n+4}(2^{3n} — 1)}{2^{2+n}(2^{3n} — 1)} = \frac{2^{n+4}}{2^{2+n}} = 2^{n+4-2-n} = 2^2 = 4
\]