ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 47 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

(Задача-исследование.) Верно ли, что при всех значениях \(a\), отличных от \(-2\) и \(2\), значение дроби

\[
\frac{a^2-4}{12+a^2-a}
\]

является отрицательным числом?

1) Выберите произвольное значение \(a\), отличное от \(-2\) и \(2\), и сравните с нулём соответствующее значение дроби.
2) Обсудите, какое преобразование дроби поможет найти ответ на вопрос задачи.
3) Выполните это преобразование и сделайте вывод.

Краткий ответ:

Дробь \(\frac{a^2-4}{12+a^2-a^4}\) упрощается до \(\frac{-1}{3+a^2}\), которая всегда меньше нуля для всех значений \(a\), кроме \(a = 2\) и \(a = -2\).

Подробный ответ:

Рассмотрим дробь: \( \frac{a^2-4}{12+a^2-a^4} \)

Упростим знаменатель:
\[
12 + a^2 — a^4 = (16 — a^4) + (a^2 — 4)
\]
Разложим знаменатель:
\[
(16 — a^4) + (a^2 — 4) = (4 — a^2)(4 + a^2) — (4 — a^2)
\]

Теперь упростим дробь:
\[
\frac{a^2-4}{(4-a^2)(4+a^2) — (4-a^2)} = \frac{-1(4-a^2)}{(4-a^2)(4+a^2-1)}
\]
Сократим дробь:
\[
\frac{-1}{3+a^2}
\]

Дробь \(\frac{-1}{3+a^2}\) всегда меньше нуля при любых значениях переменной \(a\), кроме \(a = 2\) и \(a = -2\).

Проверим при \(a = 1\):
\[
\frac{-1}{3+1^2} = \frac{-1}{4} < 0
\]

При преобразовании дроби можно было в знаменателе использовать метод выделения полного квадрата.

Оцени решение