Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 446 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Освободитесь от внешнего радикала в выражении:
а)
\[
\sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}}, \, \text{если } a \geq 1;
\]
б)
\[
\sqrt{a + b + 1 + 2\sqrt{a + b}} — \sqrt{a + b + 1 — 2\sqrt{a + b}}, \, \text{если } a + b \geq 1.
\]
а)
\[
\sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}}, \, \text{если } a \geq 1
\]
\[
\sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}} = \sqrt{a — 1 + 1 + 2\sqrt{a — 1}}
\]
\[
= \sqrt{1 + (a — 1) + 2\sqrt{a — 1}} = \sqrt{(1 + \sqrt{a — 1})^2}
\]
\[
= |1 + \sqrt{a — 1}| = 1 + \sqrt{a — 1}.
\]
б)
\[
\sqrt{a + b + 1 + 2\sqrt{a + b}} — \sqrt{a + b + 1 — 2\sqrt{a + b}}, \, \text{если } a + b \geq 1
\]
\[
\sqrt{a + b + 1 + 2\sqrt{a + b}} — \sqrt{a + b + 1 — 2\sqrt{a + b}}
\]
\[
= \sqrt{(1 + \sqrt{a + b})^2} — \sqrt{(\sqrt{a + b — 1})^2}
\]
\[
= |1 + \sqrt{a + b}| — |\sqrt{a + b — 1}|
\]
\[
= 1 + \sqrt{a + b} — (\sqrt{a + b — 1})
\]
\[
= 1 + \sqrt{a + b} — \sqrt{a + b} + 1 = 2.
\]
а) Упростить выражение:
\( \sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}}, \, \text{если } a \geq 1 \)
Раскрываем выражение под корнем:
\( \sqrt{a + 2\sqrt{a — 1}} = \sqrt{a — 1 + 1 + 2\sqrt{a — 1}} \)
Группируем:
\( \sqrt{1 + (a — 1) + 2\sqrt{a — 1}} = \sqrt{(1 + \sqrt{a — 1})^2} \)
Убираем квадратный корень:
\( \sqrt{(1 + \sqrt{a — 1})^2} = |1 + \sqrt{a — 1}| \)
Так как \( a \geq 1 \), то \( \sqrt{a — 1} \geq 0 \), поэтому:
\( |1 + \sqrt{a — 1}| = 1 + \sqrt{a — 1} \)
Ответ: \( 1 + \sqrt{a — 1} \)
б) Упростить выражение:
\( \sqrt{a + b + 1 + 2\sqrt{a + b}} — \sqrt{a + b + 1 — 2\sqrt{a + b}}, \, \text{если } a + b \geq 1 \)
Обозначим \( x = \sqrt{a + b} \). Тогда выражение становится:
\( \sqrt{(1 + x)^2} — \sqrt{(x — 1)^2} \)
Убираем корни:
\( \sqrt{(1 + x)^2} = |1 + x| \) и \( \sqrt{(x — 1)^2} = |x — 1| \)
Так как \( x = \sqrt{a + b} \geq 1 \), то \( |1 + x| = 1 + x \) и \( |x — 1| = x — 1 \).
Подставляем:
\( (1 + x) — (x — 1) = 1 + x — x + 1 = 2 \)
Ответ: \( 2 \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.