Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 444 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что верно равенство:
a)
\[
\sqrt{10} + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5};
\]
б)
\[
\sqrt{9} + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5}.
\]
a)
\[
\sqrt{10} + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = \sqrt{2} + \sqrt{3} + \sqrt{5}
\]
\[
\left(\sqrt{10} + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60}\right)^2 = \left((\sqrt{2} + \sqrt{3}) + \sqrt{5}\right)^2
\]
\[
10 + \sqrt{24} + \sqrt{40} + \sqrt{60} = (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 + 2\sqrt{5}(\sqrt{2} + \sqrt{3}) + 5
\]
\[
10 + \sqrt{4 \cdot 6} + \sqrt{4 \cdot 10} + \sqrt{4 \cdot 15} = 2 + 2\sqrt{6} + 3 + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} + 5
\]
\[
10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15} = 10 + 2\sqrt{6} + 2\sqrt{10} + 2\sqrt{15}
\]
Доказано.
б)
\[
\sqrt{9} + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = 1 + \sqrt{3} — \sqrt{5}
\]
\[
\left(\sqrt{9} + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60}\right) = \left((1 + \sqrt{3}) — \sqrt{5}\right)^2
\]
\[
9 + \sqrt{12} — \sqrt{20} — \sqrt{60} = (1 + \sqrt{3})^2 — 2\sqrt{5}(1 + \sqrt{3}) + 5
\]
\[
9 + \sqrt{4 \cdot 3} — \sqrt{4 \cdot 5} — \sqrt{4 \cdot 15} = 1 + 2\sqrt{3} + 3 — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15} + 5
\]
\[
9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15} = 9 + 2\sqrt{3} — 2\sqrt{5} — 2\sqrt{15}
\]
Доказано.
Часть a:
Докажем, что:
√10 + √24 + √40 + √60 = √2 + √3 + √5
Возведем обе части в квадрат:
(√10 + √24 + √40 + √60)² = (√2 + √3 + √5)²
Раскроем скобки справа:
(√2 + √3)² + 2√5(√2 + √3) + 5
Посчитаем слева:
10 + √24 + √40 + √60 = 10 + √(4·6) + √(4·10) + √(4·15)
Упростим корни:
10 + 2√6 + 2√10 + 2√15
Посчитаем справа:
2 + 2√6 + 3 + 2√10 + 2√15 + 5
Сравним обе части:
10 + 2√6 + 2√10 + 2√15 = 10 + 2√6 + 2√10 + 2√15
Равенство доказано.
Часть b:
Докажем, что:
√9 + √12 - √20 - √60 = 1 + √3 - √5
Возведем обе части в квадрат:
(√9 + √12 - √20 - √60)² = (1 + √3 - √5)²
Раскроем скобки справа:
(1 + √3)² - 2√5(1 + √3) + 5
Посчитаем слева:
9 + √12 - √20 - √60 = 9 + √(4·3) - √(4·5) - √(4·15)
Упростим корни:
9 + 2√3 - 2√5 - 2√15
Посчитаем справа:
1 + 2√3 + 3 - 2√5 - 2√15 + 5
Сравним обе части:
9 + 2√3 - 2√5 - 2√15 = 9 + 2√3 - 2√5 - 2√15
Равенство доказано.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.