Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 443 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите значение выражения:
√2 + √3 · √2 + √2 + √3 · √2 − √2 + √3.
√2 + √3 · √2 + √2 + √3 · √2 − √2 + √3 =
= √2 + √3 · √(2 + √2 + √3)(2 − √2 + √3) =
= √2 + √3 · √(4 − (√2 + √3)²) = √2 + √3 · √(4 − (2 + √3)) =
= √2 + √3 · √(4 − 2 − √3) = √2 + √3 · √(2 − √3) =
= √(2 + √3)(2 − √3) = √(4 − 3) = √1 = 1.
Дано выражение:
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}}
\]
Рассмотрим решение пошагово:
Шаг 1: Преобразование первого множителя
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)} \cdot \sqrt{\left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)}
\]
Объединим под одним корнем второй и третий множители:
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) \cdot \left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)}
\]
Шаг 2: Упрощение произведения
Используем формулу разности квадратов:
\[
\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) \cdot \left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) = 2^2 — \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^2
\]
Раскроем квадраты:
\[
2^2 = 4, \quad \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^2 = 2 + \sqrt{3}
\]
Подставим:
\[
4 — (2 + \sqrt{3}) = 4 — 2 — \sqrt{3} = 2 — \sqrt{3}
\]
Теперь выражение выглядит так:
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}}
\]
Шаг 3: Упрощение оставшегося произведения
Снова применим формулу разности квадратов:
\[
\sqrt{\left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot \left(2 — \sqrt{3}\right)} = \sqrt{2^2 — (\sqrt{3})^2}
\]
Раскроем квадраты:
\[
2^2 = 4, \quad (\sqrt{3})^2 = 3
\]
Подставим:
\[
\sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1
\]
Ответ:
\[
1
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.