ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 443 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите значение выражения:
√2 + √3 · √2 + √2 + √3 · √2 − √2 + √3.

√2 + √3 · √2 + √2 + √3 · √2 − √2 + √3 =
= √2 + √3 · √(2 + √2 + √3)(2 − √2 + √3) =
= √2 + √3 · √(4 − (√2 + √3)²) = √2 + √3 · √(4 − (2 + √3)) =
= √2 + √3 · √(4 − 2 − √3) = √2 + √3 · √(2 − √3) =
= √(2 + √3)(2 − √3) = √(4 − 3) = √1 = 1.

Дано выражение:

\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}}
\]

Рассмотрим решение пошагово:

Шаг 1: Преобразование первого множителя
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)} \cdot \sqrt{\left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)}
\]

Объединим под одним корнем второй и третий множители:
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) \cdot \left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)}
\]

Шаг 2: Упрощение произведения
Используем формулу разности квадратов:
\[
\left(2 + \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) \cdot \left(2 — \sqrt{2 + \sqrt{3}}\right) = 2^2 — \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^2
\]

Раскроем квадраты:
\[
2^2 = 4, \quad \left(\sqrt{2 + \sqrt{3}}\right)^2 = 2 + \sqrt{3}
\]

Подставим:
\[
4 — (2 + \sqrt{3}) = 4 — 2 — \sqrt{3} = 2 — \sqrt{3}
\]

Теперь выражение выглядит так:
\[
\sqrt{2 + \sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 — \sqrt{3}}
\]

Шаг 3: Упрощение оставшегося произведения
Снова применим формулу разности квадратов:
\[
\sqrt{\left(2 + \sqrt{3}\right) \cdot \left(2 — \sqrt{3}\right)} = \sqrt{2^2 — (\sqrt{3})^2}
\]

Раскроем квадраты:
\[
2^2 = 4, \quad (\sqrt{3})^2 = 3
\]

Подставим:
\[
\sqrt{4 — 3} = \sqrt{1} = 1
\]

Ответ:
\[
1
\]