Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 442 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
a) \( \frac{\sqrt{4 — \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}} \);
б) \( \frac{\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{3}}} \);
в) \( \frac{\sqrt{\sqrt{5} — 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}} \).
a)
\[
\frac{\sqrt{4 — \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}} = \frac{(\sqrt{4 — \sqrt{11}})(\sqrt{4 — \sqrt{11}})}{(\sqrt{4 + \sqrt{11}})(\sqrt{4 — \sqrt{11}})} = \frac{(4 — \sqrt{11})}{\sqrt{16 — 11}} =\]
\[\frac{(4 — \sqrt{11})\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} =\frac{4\sqrt{5} — \sqrt{55}}{5}.
\]
б)
\[
\frac{\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{3}}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})(\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})}{(\sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{3}})(\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})} = \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}.
\]
в)
\[
\frac{\sqrt{\sqrt{5} — 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5} — 2})(\sqrt{\sqrt{5} — 2})}{(\sqrt{\sqrt{5} + 2})(\sqrt{\sqrt{5} — 2})} = \frac{(\sqrt{5} — 2)}{\sqrt{5} — 4} = \sqrt{5} — 2.
\]
a) Упростим выражение:
\frac{\sqrt{4 — \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}}
\]
Чтобы избавиться от корней в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{4 — \sqrt{11}} \):
\[
\frac{\sqrt{4 — \sqrt{11}}}{\sqrt{4 + \sqrt{11}}} = \frac{(\sqrt{4 — \sqrt{11}})(\sqrt{4 — \sqrt{11}})}{(\sqrt{4 + \sqrt{11}})(\sqrt{4 — \sqrt{11}})}.
\]
В знаменателе получается разность квадратов:
\[
= \frac{4 — \sqrt{11}}{\sqrt{16 — 11}}.
\]
Упростим знаменатель:
\[
= \frac{(4 — \sqrt{11})\sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{4\sqrt{5} — \sqrt{55}}{5}.
\]
б) Упростим выражение:
\frac{\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{3}}}.
\]
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \):
\[
\frac{\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}}}{\sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{3}}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})(\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})}{(\sqrt{\sqrt{5} — \sqrt{3}})(\sqrt{\sqrt{5} + \sqrt{3}})}.
\]
В числителе получится квадрат:
\[
= \frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}.
\]
Умножим на сопряжённое выражение для упрощения:
\[
= \frac{\sqrt{10} + \sqrt{6}}{2}.
\]
в) Упростим выражение:
\frac{\sqrt{\sqrt{5} — 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}}.
\]
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( \sqrt{\sqrt{5} — 2} \):
\[
\frac{\sqrt{\sqrt{5} — 2}}{\sqrt{\sqrt{5} + 2}} = \frac{(\sqrt{\sqrt{5} — 2})(\sqrt{\sqrt{5} — 2})}{(\sqrt{\sqrt{5} + 2})(\sqrt{\sqrt{5} — 2})}.
\]
В числителе получится квадрат:
\[
= \frac{\sqrt{5} — 2}{\sqrt{5} — 4}.
\]
Упростим выражение:
\[
= \sqrt{5} — 2.
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.