Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 441 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Является ли рациональным или иррациональным числом значение выражения:
a) \( \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} \);
б) \( \sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} \)?
a)
Ответ: \( x = 2 \) (рациональное число).
б)
Ответ: \( y = 2\sqrt{17} \) (иррациональное число).
Часть a) \( \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} \)
- Обозначим: \( x = \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} \).
- Возведем в квадрат:
\( x^2 = \left( \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} — \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} \right)^2 \).
- Раскроем скобки:
\( x^2 = \left( \sqrt{13 + 4\sqrt{3}} \right)^2 — 2\sqrt{13 + 4\sqrt{3}} \cdot \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} + \left( \sqrt{13 — 4\sqrt{3}} \right)^2 \).
- Упростим:
\( x^2 = (13 + 4\sqrt{3}) + (13 — 4\sqrt{3}) — 2\sqrt{(13 + 4\sqrt{3})(13 — 4\sqrt{3})} \).
- Сложим и упростим:
\( x^2 = 26 — 2\sqrt{13^2 — (4\sqrt{3})^2} \).
- Найдем подкоренное выражение:
\( 13^2 — (4\sqrt{3})^2 = 169 — 48 = 121 \).
- Подставим:
\( x^2 = 26 — 2\sqrt{121} = 26 — 22 = 4 \).
- Найдем \( x \):
\( x = \sqrt{4} = 2 \).
Ответ: рациональное число \( x = 2 \).
Часть б) \( \sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} \)
- Обозначим: \( y = \sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} \).
- Возведем в квадрат:
\( y^2 = \left( \sqrt{19 — 2\sqrt{34}} + \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} \right)^2 \).
- Раскроем скобки:
\( y^2 = \left( \sqrt{19 — 2\sqrt{34}} \right)^2 + 2\sqrt{19 — 2\sqrt{34}} \cdot \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} + \left( \sqrt{19 + 2\sqrt{34}} \right)^2 \).
- Упростим:
\( y^2 = (19 — 2\sqrt{34}) + (19 + 2\sqrt{34}) + 2\sqrt{(19 — 2\sqrt{34})(19 + 2\sqrt{34})} \).
- Сложим:
\( y^2 = 38 + 2\sqrt{19^2 — (2\sqrt{34})^2} \).
- Найдем подкоренное выражение:
\( 19^2 — (2\sqrt{34})^2 = 361 — 136 = 225 \).
- Подставим:
\( y^2 = 38 + 2\sqrt{225} = 38 + 30 = 68 \).
- Найдем \( y \):
\( y = \sqrt{68} \).
- Упростим:
\( y = \sqrt{4 \cdot 17} = 2\sqrt{17} \).
Ответ: иррациональное число \( y = 2\sqrt{17} \).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.