Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 431 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) являются взаимно обратными, а числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( \frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) — противоположными.
1) \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) — взаимно обратные.
\[
(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 — 3 = 1.
\]
Доказано.
2) \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) — противоположные.
\[
-\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{2\sqrt{6} — 5}{(2\sqrt{6} + 5)(2\sqrt{6} — 5)} = \frac{2\sqrt{6} — 5}{24 — 25} =\]
\[\frac{2\sqrt{6} — 5}{-1} = -(2\sqrt{6} — 5).
\]
Доказано.
1. Числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) являются взаимно обратными
Чтобы доказать, что числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) взаимно обратные, нужно показать, что их произведение равно 1:
\[
(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1.
\]
Таким образом, числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) действительно взаимно обратные. Доказано.
2. Числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) являются противоположными
Чтобы доказать, что числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) противоположные, преобразуем выражение \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \):
Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 2\sqrt{6} — 5 \):
\[
-\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} = -\frac{1 \cdot (2\sqrt{6} — 5)}{(2\sqrt{6} + 5)(2\sqrt{6} — 5)}.
\]
Вычислим знаменатель:
\[
(2\sqrt{6} + 5)(2\sqrt{6} — 5) = (2\sqrt{6})^2 — 5^2 = 24 — 25 = -1.
\]
Подставим это значение в выражение:
\[
-\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{2\sqrt{6} — 5}{-1} = -(2\sqrt{6} — 5).
\]
Таким образом, числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) действительно противоположные. Доказано.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.