ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 431 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) являются взаимно обратными, а числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( \frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) — противоположными.

1) \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) — взаимно обратные.

\[
(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 4 — 3 = 1.
\]
Доказано.

2) \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) — противоположные.

\[
-\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{2\sqrt{6} — 5}{(2\sqrt{6} + 5)(2\sqrt{6} — 5)} = \frac{2\sqrt{6} — 5}{24 — 25} =\]

\[\frac{2\sqrt{6} — 5}{-1} = -(2\sqrt{6} — 5).
\]
Доказано.

1. Числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) являются взаимно обратными

Чтобы доказать, что числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) взаимно обратные, нужно показать, что их произведение равно 1:

\[
(2 — \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 2^2 — (\sqrt{3})^2 = 4 — 3 = 1.
\]

Таким образом, числа \( 2 — \sqrt{3} \) и \( 2 + \sqrt{3} \) действительно взаимно обратные. Доказано.

2. Числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) являются противоположными

Чтобы доказать, что числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) противоположные, преобразуем выражение \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \):

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение \( 2\sqrt{6} — 5 \):

\[
-\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} = -\frac{1 \cdot (2\sqrt{6} — 5)}{(2\sqrt{6} + 5)(2\sqrt{6} — 5)}.
\]

Вычислим знаменатель:
\[
(2\sqrt{6} + 5)(2\sqrt{6} — 5) = (2\sqrt{6})^2 — 5^2 = 24 — 25 = -1.
\]

Подставим это значение в выражение:
\[
-\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} = \frac{2\sqrt{6} — 5}{-1} = -(2\sqrt{6} — 5).
\]

Таким образом, числа \( 2\sqrt{6} — 5 \) и \( -\frac{1}{2\sqrt{6} + 5} \) действительно противоположные. Доказано.