Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 429 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби:
a) \(\frac{x}{x + \sqrt{y}}\);
б) \(\frac{b}{a — \sqrt{b}}\);
в) \(\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}}\);
г) \(\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}\);
д) \(\frac{9}{3 — 2\sqrt{2}}\);
е) \(\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}}\).
а) \(\frac{x}{x + \sqrt{y}} = \frac{x(x — \sqrt{y})}{(x + \sqrt{y})(x — \sqrt{y})} = \frac{x^2 — x\sqrt{y}}{x^2 — y}\)
б) \(\frac{b}{a — \sqrt{b}} = \frac{b(a + \sqrt{b})}{(a — \sqrt{b})(a + \sqrt{b})} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 — b}\)
в) \(\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} — \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{10 — 2} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}\)
г) \(\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} — \sqrt{6})} = \frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{3 — 6} = -4\sqrt{3} + 4\sqrt{6}\)
д) \(\frac{9}{3 — 2\sqrt{2}} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{(3 — 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{9 — 8} = 9(3 + 2\sqrt{2}) = 27 + 18\sqrt{2}\)
е) \(\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}} = \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{(1 + 5\sqrt{2})(1 — 5\sqrt{2})} = \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{1 — 50} = \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{-49} = \frac{2(1 — 5\sqrt{2})}{-7} = -\frac{2}{7} + \frac{10\sqrt{2}}{7}\)
а) Преобразование дроби \(\frac{x}{x+\sqrt{y}}\)
\[
\frac{x}{x+\sqrt{y}} = \frac{x(x-\sqrt{y})}{(x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y})}.
\]
\((x+\sqrt{y})(x-\sqrt{y}) = x^2 — y\).
\(x(x-\sqrt{y}) = x^2 — x\sqrt{y}\).
\[
\frac{x}{x+\sqrt{y}} = \frac{x^2 — x\sqrt{y}}{x^2 — y}.
\]
б) Преобразование дроби \(\frac{b}{a-\sqrt{b}}\)
\[
\frac{b}{a-\sqrt{b}} = \frac{b(a+\sqrt{b})}{(a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b})}.
\]
\((a-\sqrt{b})(a+\sqrt{b}) = a^2 — b\).
\(b(a+\sqrt{b}) = ab + b\sqrt{b}\).
\[
\frac{b}{a-\sqrt{b}} = \frac{ab + b\sqrt{b}}{a^2 — b}.
\]
в) Преобразование дроби \(\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}}\)
\[
\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}} = \frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{(\sqrt{10} — \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2})}.
\]
\((\sqrt{10} — \sqrt{2})(\sqrt{10} + \sqrt{2}) = 10 — 2 = 8\).
\[
\frac{4(\sqrt{10} + \sqrt{2})}{8} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}.
\]
\[
\frac{4}{\sqrt{10} — \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10} + \sqrt{2}}{2}.
\]
г) Преобразование дроби \(\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}}\)
\[
\frac{12}{\sqrt{3} + \sqrt{6}} = \frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{(\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} — \sqrt{6})}.
\]
\((\sqrt{3} + \sqrt{6})(\sqrt{3} — \sqrt{6}) = 3 — 6 = -3\).
\[
\frac{12(\sqrt{3} — \sqrt{6})}{-3} = -4(\sqrt{3} — \sqrt{6}).
\]
\[
-4\sqrt{3} + 4\sqrt{6}.
\]
д) Преобразование дроби \(\frac{9}{3 — 2\sqrt{2}}\)
\[
\frac{9}{3 — 2\sqrt{2}} = \frac{9(3 + 2\sqrt{2})}{(3 — 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2})}.
\]
\((3 — 2\sqrt{2})(3 + 2\sqrt{2}) = 9 — 8 = 1\).
\[
9(3 + 2\sqrt{2}) = 27 + 18\sqrt{2}.
\]
\[
27 + 18\sqrt{2}.
\]
е) Преобразование дроби \(\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}}\)
\[
\frac{14}{1 + 5\sqrt{2}} = \frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{(1 + 5\sqrt{2})(1 — 5\sqrt{2})}.
\]
\((1 + 5\sqrt{2})(1 — 5\sqrt{2}) = 1 — 50 = -49\).
\[
\frac{14(1 — 5\sqrt{2})}{-49} = \frac{-2(1 — 5\sqrt{2})}{7}.
\]
\[
\frac{-2(1 — 5\sqrt{2})}{7} = \frac{-2 + 10\sqrt{2}}{7}.
\]
\[
\frac{-2 + 10\sqrt{2}}{7}.
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.