Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 428 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:
a) \(\frac{1}{\sqrt{5} — 2}\);
б) \(\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\);
в) \(\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}\);
г) \(\frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}\).
а) Между 4 и 5.
б) Между 3 и 4.
в) Между 0 и 1.
г) Между 2 и 3.
а) \(\frac{1}{\sqrt{5} — 2}\)
Рационализируем знаменатель:
\[
\frac{1}{\sqrt{5} — 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 — 4} = \sqrt{5} + 2
\]
Оценим \(\sqrt{5}\):
- \(2 < \sqrt{5} < 3\)
- \(2 + 2 < \sqrt{5} + 2 < 3 + 2\)
- \(4 < \sqrt{5} + 2 < 5\)
Ответ: между 4 и 5.
б) \(\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\)
Рационализируем знаменатель:
\[
\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} — \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 — 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}
\]
Оценим \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{3}\):
- \(2 < \sqrt{5} < 3\), \(1 < \sqrt{3} < 2\)
- \(2 + 1 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 3 + 2\)
- \(3 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 5\)
Уточним границы:
- \(2,23 < \sqrt{5} < 2,24\), \(1,73 < \sqrt{3} < 1,74\)
- \(2,23 + 1,73 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,24 + 1,74\)
- \(3,96 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 3,98\)
Ответ: между 3 и 4.
в) \(\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}\)
Рационализируем знаменатель:
\[
\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10} — \sqrt{7})}{(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{10} — \sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{10} — \sqrt{7})}{10 — 7} = \sqrt{10} — \sqrt{7}
\]
Оценим \(\sqrt{10}\) и \(\sqrt{7}\):
- \(3 < \sqrt{10} < 4\), \(2 < \sqrt{7} < 3\)
- \(3 — 3 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 4 — 2\)
- \(0 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 2\)
Уточним границы:
- \(3,1 < \sqrt{10} < 3,2\), \(2,7 < \sqrt{7} < 2,8\)
- \(3,1 — 2,7 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 3,2 — 2,6\)
- \(0,4 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 0,6\)
Ответ: между 0 и 1.
г) \(\frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}\)
Рационализируем знаменатель:
\[
\frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{(5 + 3\sqrt{3})(\sqrt{3} — 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} — 2)} = \frac{5\sqrt{3} — 10 + 9 — 6\sqrt{3}}{3 — 4} = -(\sqrt{3} + 1)
\]
Оценим \(\sqrt{3}\):
- \(1 < \sqrt{3} < 2\)
- \(1 + 1 < \sqrt{3} + 1 < 2 + 1\)
- \(2 < \sqrt{3} + 1 < 3\)
Ответ: между 2 и 3.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.