ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 428 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Между какими последовательными целыми числами заключено значение выражения:
a) \(\frac{1}{\sqrt{5} — 2}\);
б) \(\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\);
в) \(\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}\);
г) \(\frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}\).

Краткий ответ:

а) Между 4 и 5.
б) Между 3 и 4.
в) Между 0 и 1.
г) Между 2 и 3.

Подробный ответ:

а) \(\frac{1}{\sqrt{5} — 2}\)

Рационализируем знаменатель:

\[
\frac{1}{\sqrt{5} — 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{(\sqrt{5} — 2)(\sqrt{5} + 2)} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 — 4} = \sqrt{5} + 2
\]

Оценим \(\sqrt{5}\):

\(2 < \sqrt{5} < 3\)
\(2 + 2 < \sqrt{5} + 2 < 3 + 2\)
\(4 < \sqrt{5} + 2 < 5\)

Ответ: между 4 и 5.

б) \(\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}}\)

Рационализируем знаменатель:

\[
\frac{2}{\sqrt{5} — \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{(\sqrt{5} — \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3})} = \frac{2(\sqrt{5} + \sqrt{3})}{5 — 3} = \sqrt{5} + \sqrt{3}
\]

Оценим \(\sqrt{5}\) и \(\sqrt{3}\):

\(2 < \sqrt{5} < 3\), \(1 < \sqrt{3} < 2\)
\(2 + 1 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 3 + 2\)
\(3 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 5\)

Уточним границы:

\(2,23 < \sqrt{5} < 2,24\), \(1,73 < \sqrt{3} < 1,74\)
\(2,23 + 1,73 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 2,24 + 1,74\)
\(3,96 < \sqrt{5} + \sqrt{3} < 3,98\)

Ответ: между 3 и 4.

в) \(\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}}\)

Рационализируем знаменатель:

\[
\frac{3}{\sqrt{10} + \sqrt{7}} = \frac{3(\sqrt{10} — \sqrt{7})}{(\sqrt{10} + \sqrt{7})(\sqrt{10} — \sqrt{7})} = \frac{3(\sqrt{10} — \sqrt{7})}{10 — 7} = \sqrt{10} — \sqrt{7}
\]

Оценим \(\sqrt{10}\) и \(\sqrt{7}\):

\(3 < \sqrt{10} < 4\), \(2 < \sqrt{7} < 3\)
\(3 — 3 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 4 — 2\)
\(0 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 2\)

Уточним границы:

\(3,1 < \sqrt{10} < 3,2\), \(2,7 < \sqrt{7} < 2,8\)
\(3,1 — 2,7 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 3,2 — 2,6\)
\(0,4 < \sqrt{10} — \sqrt{7} < 0,6\)

Ответ: между 0 и 1.

г) \(\frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2}\)

Рационализируем знаменатель:

\[
\frac{5 + 3\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{(5 + 3\sqrt{3})(\sqrt{3} — 2)}{(\sqrt{3} + 2)(\sqrt{3} — 2)} = \frac{5\sqrt{3} — 10 + 9 — 6\sqrt{3}}{3 — 4} = -(\sqrt{3} + 1)
\]

Оценим \(\sqrt{3}\):

\(1 < \sqrt{3} < 2\)
\(1 + 1 < \sqrt{3} + 1 < 2 + 1\)
\(2 < \sqrt{3} + 1 < 3\)

Ответ: между 2 и 3.

Оцени решение