ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 411 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.)
Площадь треугольника \( S \, \text{см}^2 \) со сторонами \( a \, \text{см}, b \, \text{см} \) и \( c \, \text{см} \) можно вычислить по формуле Герона:

\[
S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)},
\]

где \( p \) — полупериметр треугольника.

Найдите площадь треугольника, стороны которого равны:
а) \( 12 \, \text{см}, 16 \, \text{см}, 24 \, \text{см}; \)
б) \( 18 \, \text{см}, 22 \, \text{см}, 26 \, \text{см}. \)

(Можете воспользоваться калькулятором.)

1) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните вычисления.
2) Проверьте друг у друга правильность вычислений.
3) Обсудите, как изменится площадь треугольника, если каждую из его сторон увеличить в 2 раза. Выскажите предположение и выполните необходимые преобразования.

a) \( S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} \)
\( a = 12 \) см, \( b = 16 \) см, \( c = 24 \) см

\[
p = \frac{12 + 16 + 24}{2} = 26 \text{ см}
\]

\[
S = \sqrt{26(26 — 12)(26 — 16)(26 — 24)} = \sqrt{26 \cdot 14 \cdot 10 \cdot 2} =\]

\[\sqrt{7280} \approx 85.3 \, \text{см}^2
\]

б) \( S = \sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)} \)
\( a = 18 \) см, \( b = 22 \) см, \( c = 26 \) см

\[
p = \frac{18 + 22 + 26}{2} = 33 \text{ см}
\]

\[
S = \sqrt{33(33 — 18)(33 — 22)(33 — 26)} = \sqrt{33 \cdot 15 \cdot 11 \cdot 7} =\]

\[\sqrt{38115} \approx 195.2 \, \text{см}^2
\]

3) Пусть \(2a, 2b, 2c\) — стороны нового треугольника.

\[
p_{\text{новый}} = \frac{2a + 2b + 2c}{2} = \frac{2(a + b + c)}{2} = 2p \, \text{см}, \, \text{т.к.} \, p = \frac{a + b + c}{2} \, \text{см}.
\]

\[
S = \sqrt{2p(2p — 2a)(2p — 2c)(2p — 2b)} =\]

\[\sqrt{2p \cdot 2(p — a) \cdot 2(p — c) \cdot 2(p — b)} =\]

\[\sqrt{16p(p — a)(p — c)(p — b)} =\]

\[4\sqrt{p(p — a)(p — b)(p — c)}, \, \text{т.е. площадь увеличится в 4 раза.}
\]

Ответ: Увеличится в 4 раза.

1. Найти площадь треугольника со сторонами 12 см, 16 см и 24 см

Формула Герона для площади треугольника:

S = √p(p — a)(p — b)(p — c), где:

• a, b, c — стороны треугольника
• p — полупериметр, p = (a + b + c) / 2

Подставим данные:

• a = 12 см, b = 16 см, c = 24 см
• p = (12 + 16 + 24) / 2 = 26 см

Вычислим площадь:

S = √26(26 — 12)(26 — 16)(26 — 24)

S = √26 × 14 × 10 × 2 = √7280 ≈ 85,3 см²

Ответ: 85,3 см²

2. Найти площадь треугольника со сторонами 18 см, 22 см и 26 см

Подставим данные:

• a = 18 см, b = 22 см, c = 26 см
• p = (18 + 22 + 26) / 2 = 33 см

Вычислим площадь:

S = √33(33 — 18)(33 — 22)(33 — 26)

S = √33 × 15 × 11 × 7 = √38115 ≈ 195,2 см²

Ответ: 195,2 см²

3. Как изменится площадь треугольника, если увеличить стороны в 2 раза?

Если стороны нового треугольника равны 2a, 2b и 2c:

• Новый полупериметр: p_новый = (2a + 2b + 2c) / 2 = 2p
• Новая площадь: S_новый = √2p(2p — 2a)(2p — 2b)(2p — 2c)

Упростим:

S_новый = √16p(p — a)(p — b)(p — c) = 4 × √p(p — a)(p — b)(p — c)

То есть площадь увеличится в 4 раза.

Ответ: Увеличится в 4 раза.