Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 410 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Задача-исследование.) Проверьте, верны ли равенства
\[
\sqrt{2 \cdot \frac{2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}, \quad \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3}} = 3\sqrt{\frac{3}{8}}, \quad \sqrt{4 \cdot \frac{4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}.
\]
1. Первое изображение
\[
\sqrt{2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}} \quad \text{(верно)}
\]
\[
\sqrt{3 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{11}{3}} \quad \text{(неверно)}
\]
\[
\sqrt{4 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}} \quad \text{(верно)}
\]
—
2. Второе изображение
Общие формулы:
\[
\sqrt{a + \frac{a}{b}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{a}{b}}, \quad a \in \mathbb{N}, \, b \in \mathbb{N}.
\]
\[
\left( \sqrt{a + \frac{a}{b}} \right)^2 = \left( a + \frac{a}{b} \right)^2.
\]
\[
a + \frac{a}{b} = a^2 \cdot \frac{a}{b} \cdot b.
\]
Пример 1:
\[
a = 3, \quad b = 3^2 — 1 = 9 — 1 = 8.
\]
\[
\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3}{8}} \quad \text{(верно)}.
\]
Пример 2:
\[
a = 7, \quad b = 7^2 — 1 = 49 — 1 = 48.
\]
\[
\sqrt{\frac{7}{48}} = \sqrt{\frac{7}{48}} \quad \text{(верно)}.
\]
1. Проверка равенств
Первое равенство:
\[
\sqrt{2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{8}{3}} = \sqrt{\frac{4 \cdot 2}{3}} = 2\sqrt{\frac{2}{3}}
\]
верно.
Второе равенство:
\[
\sqrt{3 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{11}{3}}
\]
неверно, так как результат не соответствует исходному выражению.
Третье равенство:
\[
\sqrt{4 \cdot \frac{4}{15}} = \sqrt{\frac{64}{15}} = \sqrt{\frac{16 \cdot 4}{15}} = 4\sqrt{\frac{4}{15}}
\]
верно.
2. Общие формулы
Для проверки равенств используется следующая формула:
\[
\sqrt{a + \frac{a}{b}} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{\frac{a}{b}}, \, a \in \mathbb{N}, \, b \in \mathbb{N}.
\]
Также выполняется:
\[
\left( \sqrt{a + \frac{a}{b}} \right)^2 = \left( a + \frac{a}{b} \right)^2.
\]
3. Примеры
Пример 1:
Дано: \( a = 3 \), \( b = 3^2 — 1 = 9 — 1 = 8 \).
\[
\sqrt{\frac{3}{8}} = \sqrt{\frac{3}{8}} \quad \text{(верно)}.
\]
Пример 2:
Дано: \( a = 7 \), \( b = 7^2 — 1 = 49 — 1 = 48 \).
\[
\sqrt{\frac{7}{48}} = \sqrt{\frac{7}{48}} \quad \text{(верно)}.
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.