Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 408 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Сравните значения выражений:
a) \( \frac{1}{3}\sqrt{351} \) и \( \frac{1}{2}\sqrt{188} \);
б) \( \frac{1}{3}\sqrt{54} \) и \( \frac{1}{5}\sqrt{150} \);
в) \( \sqrt{24} \) и \( \frac{1}{3}\sqrt{216} \);
г) \( \frac{2}{3}\sqrt{72} \) и \( 7\sqrt{\frac{2}{3}} \).
a) \( \frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188} \)
\( \frac{1}{3}\sqrt{351} = \frac{1}{9}\sqrt{351} = \sqrt{\frac{351}{9}} = \sqrt{39} \)
\( \frac{1}{2}\sqrt{188} = \frac{1}{4}\sqrt{188} = \sqrt{\frac{188}{4}} = \sqrt{47} \), значит \( \sqrt{47} > \sqrt{39} \).
б) \( \frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150} \)
\( \frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{9}\sqrt{54} = \sqrt{\frac{54}{9}} = \sqrt{6} \)
\( \frac{1}{5}\sqrt{150} = \frac{1}{25}\sqrt{150} = \sqrt{\frac{150}{25}} = \sqrt{6} \), значит \( \sqrt{6} = \sqrt{6} \).
в) \( \sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216} \)
\( \frac{1}{3}\sqrt{216} = \frac{1}{9}\sqrt{216} = \sqrt{\frac{216}{9}} = \sqrt{24} \), значит \( \sqrt{24} = \sqrt{24} \).
г) \( \frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}} \)
\( \frac{2}{3}\sqrt{72} = \frac{4}{9}\sqrt{72} = \sqrt{\frac{288}{9}} = \sqrt{32} \)
\( 7\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{98}{3}} \),
значит \( \sqrt{\frac{98}{3}} > \sqrt{32} \).
а) Сравнить \( \frac{1}{3}\sqrt{351} \) и \( \frac{1}{2}\sqrt{188} \)
Шаг 1: Преобразуем \( \frac{1}{3}\sqrt{351} \).
\[
\frac{1}{3}\sqrt{351} = \frac{1}{9}\sqrt{351}.
\]
Это равно:
\[
\frac{1}{9}\sqrt{351} = \sqrt{\frac{351}{9}} = \sqrt{39}.
\]
Шаг 2: Преобразуем \( \frac{1}{2}\sqrt{188} \).
\[
\frac{1}{2}\sqrt{188} = \frac{1}{4}\sqrt{188}.
\]
Это равно:
\[
\frac{1}{4}\sqrt{188} = \sqrt{\frac{188}{4}} = \sqrt{47}.
\]
Шаг 3: Сравниваем \( \sqrt{39} \) и \( \sqrt{47} \).
Очевидно, что \( \sqrt{47} > \sqrt{39} \).
Ответ: \( \frac{1}{3}\sqrt{351} < \frac{1}{2}\sqrt{188} \).
б) Сравнить \( \frac{1}{3}\sqrt{54} \) и \( \frac{1}{5}\sqrt{150} \)
Шаг 1: Преобразуем \( \frac{1}{3}\sqrt{54} \).
\[
\frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{9}\sqrt{54}.
\]
Это равно:
\[
\frac{1}{9}\sqrt{54} = \sqrt{\frac{54}{9}} = \sqrt{6}.
\]
Шаг 2: Преобразуем \( \frac{1}{5}\sqrt{150} \).
\[
\frac{1}{5}\sqrt{150} = \frac{1}{25}\sqrt{150}.
\]
Это равно:
\[
\frac{1}{25}\sqrt{150} = \sqrt{\frac{150}{25}} = \sqrt{6}.
\]
Шаг 3: Сравниваем \( \sqrt{6} \) и \( \sqrt{6} \).
Очевидно, что они равны.
Ответ: \( \frac{1}{3}\sqrt{54} = \frac{1}{5}\sqrt{150} \).
в) Сравнить \( \sqrt{24} \) и \( \frac{1}{3}\sqrt{216} \)
Шаг 1: Преобразуем \( \frac{1}{3}\sqrt{216} \).
\[
\frac{1}{3}\sqrt{216} = \frac{1}{9}\sqrt{216}.
\]
Это равно:
\[
\frac{1}{9}\sqrt{216} = \sqrt{\frac{216}{9}} = \sqrt{24}.
\]
Шаг 2: Сравниваем \( \sqrt{24} \) и \( \sqrt{24} \).
Они равны.
Ответ: \( \sqrt{24} = \frac{1}{3}\sqrt{216} \).
г) Сравнить \( \frac{2}{3}\sqrt{72} \) и \( 7\sqrt{\frac{2}{3}} \)
Шаг 1: Преобразуем \( \frac{2}{3}\sqrt{72} \).
\[
\frac{2}{3}\sqrt{72} = \frac{4}{9}\sqrt{72}.
\]
Это равно:
\[
\frac{4}{9}\sqrt{72} = \sqrt{\frac{288}{9}} = \sqrt{32}.
\]
Шаг 2: Преобразуем \( 7\sqrt{\frac{2}{3}} \).
\[
7\sqrt{\frac{2}{3}} = \sqrt{7^2 \cdot \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{98}{3}}.
\]
Шаг 3: Сравниваем \( \sqrt{32} \) и \( \sqrt{\frac{98}{3}} \).
Очевидно, что \( \sqrt{\frac{98}{3}} > \sqrt{32} \).
Ответ: \( \frac{2}{3}\sqrt{72} < 7\sqrt{\frac{2}{3}} \).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.