ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 38 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Постройте график функции:
а) \( y = \frac{x^2 — 25}{2x + 10} \),
б) \( y = \frac{x^3 — 9x}{x^2 — 9} \).

1) Обсудите, что общего у дробей, задающих функцию в заданиях а) и б). Как надо учитывать эту особенность при построении графиков?
2) Распределите, кто выполняет задание а), а кто — задание б), и выполните их.
3) Проверьте друг у друга, правильно ли выполнено задание. Исправьте замеченные ошибки.

1) Общее: обе функции — дроби с многочленами в числителе и знаменателе. Нужно учитывать точки, где знаменатель равен нулю (разрывы функции).

2) Кто хочет — выполняет а), кто хочет — б).
— а) \( y = \frac{x^2 — 25}{2x + 10} = \frac{(x-5)(x+5)}{2(x+5)} = \frac{x-5}{2}, x \neq -5 \).
— б) \( y = \frac{x^3 — 9x}{x^2 — 9} = \frac{x(x-3)(x+3)}{(x-3)(x+3)} = x, x \neq \pm 3 \).

3) Проверить, что в точках разрыва (где знаменатель = 0) нет значений функции, графики имеют разрывы. Исправить ошибки, если есть.

а) \( y = \frac{x^2 — 25}{2x + 10} \)

Упростим дробь:

• Числитель: \(x^2 — 25 = (x — 5)(x + 5)\)
• Знаменатель: \(2x + 10 = 2(x + 5)\)

Следовательно:
\[
y = \frac{(x — 5)(x + 5)}{2(x + 5)}
\]
Сокращаем на \((x + 5)\), при условии \(x \ne -5\):
\[
y = \frac{x — 5}{2},\quad x \ne -5
\]
Это — линейная функция, но при \(x = -5\) возникает разрыв (точка, где графика нет).
Итог: строим прямую \(y = \frac{x — 5}{2}\), но в точке \(x = -5\) — вырезанная точка.

б) \( y = \frac{x^3 — 9x}{x^2 — 9} \)

Упростим дробь:

• Числитель: \(x^3 — 9x = x(x^2 — 9) = x(x — 3)(x + 3)\)
• Знаменатель: \(x^2 — 9 = (x — 3)(x + 3)\)

Сокращаем на \((x — 3)(x + 3)\), при условии \(x \ne 3\) и \(x \ne -3\):
\[
y = x,\quad x \ne \pm3
\]
Это — прямая \(y = x\), но с двумя вырезанными точками в \(x = 3\) и \(x = -3\).
Итог: строим прямую \(y = x\), но вырезаем точки в \(x = 3\) и \(x = -3\).

1) Обсуждение:

Оба выражения представляют собой рациональные дроби, у которых числитель и знаменатель содержат общие множители. При сокращении этих множителей получается упрощённое выражение, которое похоже на обычную функцию (линейную или кубическую), но важно помнить, что в точках, где знаменатель обращается в ноль, функция не определена — возникает разрыв второго рода (вырезанная точка).

2) Распределите роли:

• Ученик А выполняет задание а: строит прямую \(y = \frac{x — 5}{2}\), исключив точку \(x = -5\)
• Ученик Б выполняет задание б: строит прямую \(y = x\), исключив точки \(x = -3\) и \(x = 3\)

3) Проверка:

Обменяйтесь построенными графиками и проверьте:

• Правильно ли упростили дробь?
• Есть ли на графике вырезанные точки?
• Совпадает ли общий вид с упрощённой функцией?

Если обнаружены ошибки — исправьте вместе!