Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 374 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Укажите натуральные значения \(n\), при которых \(\sqrt{n^2 — 75}\) является натуральным числом.
при n = 10; 14; 38.*
Для того чтобы \(\sqrt{n^2 — 75}\) было натуральным числом, выражение под корнем, то есть \(n^2 — 75\), должно быть полным квадратом.
Обозначим \(n^2 — 75 = k^2\), где \(k\) — натуральное число. Тогда:
\[
n^2 — k^2 = 75
\]
Применим формулу разности квадратов: \((n — k)(n + k) = 75\).
Шаг 1: Найдём все пары натуральных делителей числа 75
Число 75 можно представить в виде произведения следующих пар натуральных чисел:
- \(1 \cdot 75\)
- \(3 \cdot 25\)
- \(5 \cdot 15\)
- \(9 \cdot 8\) (не подходит, так как не натуральные).
Шаг 2: Решим уравнения для каждой пары делителей
Для каждой пары \((a, b)\), где \(a = n — k\) и \(b = n + k\), решим систему уравнений:
- \(n — k = a\)
- \(n + k = b\)
Сложим и вычтем уравнения:
- \(n = \frac{a + b}{2}\)
- \(k = \frac{b — a}{2}\)
Проверим каждую пару:
- Для \((a, b) = (1, 75)\):
- \(n = \frac{1 + 75}{2} = 38\), \(k = \frac{75 — 1}{2} = 37\).
- Подходит, так как \(n = 38\) — натуральное число.
- Для \((a, b) = (3, 25)\):
- \(n = \frac{3 + 25}{2} = 14\), \(k = \frac{25 — 3}{2} = 11\).
- Подходит, так как \(n = 14\) — натуральное число.
- Для \((a, b) = (5, 15)\):
- \(n = \frac{5 + 15}{2} = 10\), \(k = \frac{15 — 5}{2} = 5\).
- Подходит, так как \(n = 10\) — натуральное число.
Ответ
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.