Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 353 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Имеют ли общие точки графики функций:
a) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \);
б) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = 1000 \);
в) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x + 10 \);
г) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = -x + 1,5 \)?
При положительном ответе укажите координаты этих точек.
1) Распределите, кто выполняет задания a) и в), а кто — задания б) и г), и выполните их.
2) Проверьте друг у друга, верно ли выполнены задания. Исправьте замеченные ошибки.
3) Приведите примеры линейных функций, графики которых: не пересекают график функции \( y = \sqrt{x} \); пересекают его в одной точке; пересекают его в двух точках. Обсудите правильность этих примеров.
Конечно, вот короткие ответы:
а) Две общие точки: (0, 0) и (1, 1).
б) Одна общая точка: (1,000,000, 1,000).
в) Не имеют общих точек.
г) Одна общая точка: (0,8; 0,9).
3) Примеры:
— \( y = 3x \): две общие точки.
— \( y = -3x + 15 \): не имеет общих точек.
— \( y = 5x — 2 \): одна общая точка.
а) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x \)
Приравниваем функции:
\( \sqrt{x} = x \)
Возводим в квадрат:
\( (\sqrt{x})^2 = x^2 \)
\( x = x^2 \)
Переносим все в одну сторону:
\( x — x^2 = 0 \)
Решаем уравнение:
\( x(1 — x) = 0 \)
\( x = 0 \) или \( x = 1 \)
Значения \( y \):
- Если \( x = 0 \), то \( y = 0 \).
- Если \( x = 1 \), то \( y = 1 \).
Ответ: две общие точки (0, 0) и (1, 1).
б) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = 1000 \)
Приравниваем функции:
\( \sqrt{x} = 1000 \)
Возводим в квадрат:
\( x = 1000^2 = 1,000,000 \)
Значение \( y = 1000 \).
Ответ: одна общая точка (1,000,000, 1,000).
в) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = x + 10 \)
Приравниваем функции:
\( \sqrt{x} = x + 10 \)
Возводим в квадрат:
\( x = (x + 10)^2 \)
\( x = x^2 + 20x + 100 \)
Переносим все в одну сторону:
\( x — 20x — 100 = x^2 \)
\( -19x — 100 = x^2 \)
Графики не пересекаются, так как уравнение не имеет действительных решений.
Ответ: не имеют общих точек.
г) \( y = \sqrt{x} \) и \( y = -x + 1,5 \)
Приравниваем функции:
\( \sqrt{x} = -x + 1,5 \)
Возводим в квадрат:
\( x = (1,5 — x)^2 \)
\( x = 2,25 — 3x + x^2 \)
Переносим все в одну сторону:
\( x — 2,25 + 3x = x^2 \)
\( 4x — 2,25 = x^2 \)
Решаем уравнение и находим, что графики имеют одну общую точку.
Ответ: 1 общая точка (0,8; 0,9).
3) Примеры линейных функций
- График функции \( y = 3x \) имеет с графиком функции \( y = \sqrt{x} \) две общие точки.
- График функции \( y = -3x + 15 \) не имеет с графиком функции \( y = \sqrt{x} \) общих точек.
- График функции \( y = 5x — 2 \) имеет с графиком функции \( y = \sqrt{x} \) одну общую точку.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.