Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 285 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \( \left(1 — \frac{3x^2}{1 — x^2}\right) : \left(\frac{x}{x + 1} + 1\right) \);
б) \( \left(\frac{a + b}{b} — \frac{a}{a + b}\right) : \left(\frac{a + b}{a} — \frac{b}{a + b}\right) \);
в) \( \frac{3a^2 — a + 3}{a^3 — 1} — \frac{a — 1}{a^2 + a + 1} + \frac{2}{1 — a} \);
г) \( \left(\frac{2b}{1 — b} — b\right) : \left(\frac{3b + 3}{b — 1}\right) \);
д) \( \left(a — x + \frac{x^2}{a + x}\right) \cdot \frac{a — x}{a} \).
а) Ответ:
\( \frac{1 — 2x}{1 — x} \)
б) Ответ:
\( \frac{a}{b} \)
в) Ответ:
\( \frac{-a}{a^3 — 1} \)
г) Ответ:
\( \frac{-b}{3} \)
д) Ответ:
\( \frac{a^2 — ax}{a + x} \)
а) Упростите выражение:
\( \left(1 — \frac{3x^2}{1 — x^2}\right) : \left(\frac{x}{x + 1} + 1\right) \)
Начинаем с упрощения:
\( \left(1 — \frac{3x^2}{1 — x^2}\right) = \frac{1 — x^2 — 3x^2}{1 — x^2} = \frac{1 — 4x^2}{1 — x^2} \)
\( \frac{x}{x + 1} + 1 = \frac{x + x + 1}{x + 1} = \frac{2x + 1}{x + 1} \)
Следовательно, выражение становится:
\( \frac{1 — 4x^2}{1 — x^2} \times \frac{x + 1}{2x + 1} = \frac{(1 — 2x)(1 + 2x)}{(1 — x)(2x + 1)} = \frac{1 — 2x}{1 — x} \)
б) Упростите выражение:
\( \left(\frac{a + b}{b} — \frac{a}{a + b}\right) : \left(\frac{a + b}{a} — \frac{b}{a + b}\right) \)
Упрощаем каждую часть:
\( \frac{a + b}{b} — \frac{a}{a + b} = \frac{(a + b)^2 — ab}{b(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — ab}{b(a + b)} \)
\( \frac{a + b}{a} — \frac{b}{a + b} = \frac{(a + b)^2 — ab}{a(a + b)} = \frac{a^2 + 2ab + b^2 — ab}{a(a + b)} \)
Следовательно, выражение становится:
\( \frac{a^2 + 2ab + b^2 — ab}{b(a + b)} \times \frac{a(a + b)}{a^2 + 2ab + b^2 — ab} = \frac{a}{b} \)
в) Упростите выражение:
\( \frac{3a^2 — a + 3}{a^3 — 1} — \frac{a — 1}{a^2 + a + 1} + \frac{2}{1 — a} \)
Упрощаем каждое слагаемое:
\( \frac{3a^2 — a + 3}{a^3 — 1} = \frac{3a^2 — a + 3}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} \)
\( \frac{a — 1}{a^2 + a + 1} = \frac{a — 1}{a^2 + a + 1} \)
\( \frac{2}{1 — a} = \frac{-2}{a — 1} \)
Объединяем все части:
\( \frac{3a^2 — a + 3 — (a — 1) — 2(a^2 + a + 1)}{(a — 1)(a^2 + a + 1)} = \frac{-a}{a^3 — 1} \)
г) Упростите выражение:
\( \left(\frac{2b}{1 — b} — b\right) : \left(\frac{3b + 3}{b — 1}\right) \)
Упрощаем каждую часть:
\( \frac{2b}{1 — b} — b = \frac{2b — b(1 — b)}{1 — b} = \frac{b — b^2}{1 — b} \)
\( \frac{3b + 3}{b — 1} = \frac{3(b + 1)}{1 — b} \)
Следовательно, выражение становится:
\( \frac{b — b^2}{1 — b} \times \frac{1 — b}{3(b + 1)} = \frac{-b}{3} \)
д) Упростите выражение:
\( \left(a — x + \frac{x^2}{a + x}\right) \cdot \frac{a — x}{a} \)
Упрощаем каждую часть:
\( \left(a — x + \frac{x^2}{a + x}\right) = \frac{a(a + x) — x(a + x) + x^2}{a + x} = \frac{a^2 + ax — ax — x^2 + x^2}{a + x} = \frac{a^2}{a + x} \)
Следовательно, выражение становится:
\( \frac{a^2}{a + x} \times \frac{a — x}{a} = \frac{a^2 — ax}{a + x} \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.