ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 264 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Постройте график функции:
a) \( y = \frac{x^2 — 16}{|x — 4|} \);
б) \( y = \frac{x^2 — 25}{5 + |x|} \).

Функция \( y = \frac{x^2 — 16}{|x — 4|} \)

1. Область определения
— Данная функция не определена в точке \( x = 4 \), так как знаменатель обращается в ноль. Таким образом, область определения: \( x \in (-\infty, 4) \cup (4, \infty) \).

2. Анализ числителя
— Числитель \( x^2 — 16 \) можно разложить как разность квадратов: \( (x — 4)(x + 4) \).

3. Анализ знаменателя
— Знаменатель \( |x — 4| \) означает, что функция будет иметь разные выражения в зависимости от того, больше или меньше \( x \) чем 4.
— Для \( x > 4 \), \( |x — 4| = x — 4 \).
— Для \( x < 4 \), \( |x — 4| = -(x — 4) \). 4. Исследование поведения — Для \( x > 4 \), функция упрощается до \( y = x + 4 \).
— Для \( x < 4 \), функция упрощается до \( y = -(x + 4) \).

5. Построение графика
— График будет состоять из двух линейных частей с разрывом в точке \( x = 4 \).

Функция \( y = \frac{x^2 — 25}{5 + |x|} \)

1. Область определения
— Функция определена для всех \( x \), так как знаменатель \( 5 + |x| \) никогда не обращается в ноль.

2. Анализ числителя
— Числитель \( x^2 — 25 \) можно разложить как разность квадратов: \( (x — 5)(x + 5) \).

3. Анализ знаменателя
— Знаменатель \( 5 + |x| \) всегда положителен, поэтому функция определена для всех значений \( x \).

4. Исследование поведения
— Для \( x \geq 0 \), \( |x| = x \), функция будет \( y = \frac{x^2 — 25}{5 + x} \).
— Для \( x < 0 \), \( |x| = -x \), функция будет \( y = \frac{x^2 — 25}{5 — x} \).

5. Анализ асимптот
— При больших значениях \( |x| \), функция стремится к \( y = x \), так как старшая степень числителя и знаменателя совпадает.

6. Построение графика
— График будет плавным, без разрывов, с асимптотическим поведением при больших \( |x| \).