ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части

Алгебра

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.

8 класс

Тип

ГДЗ, Решебник.

Автор

Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.

Год

2019-2024.

Описание

Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.

Основные особенности учебника

Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать.
Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике.
Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников.
Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным.
Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.

Заключение

Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 256 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Докажите, что если \( z \) является средним гармоническим положительных чисел \( a \) и \( b \), причём \( a \neq b \), то верно равенство

\[ \frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b}. \]

Краткий ответ:

\( = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

Подробный ответ:

Дано, что \( z \) является средним гармоническим положительных чисел \( a \) и \( b \), то есть:

\( z = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} = \frac{2ab}{a+b} \)

Нам нужно доказать, что:

\( \frac{1}{z-a} + \frac{1}{z-b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

Подставим выражение для \( z \):

\( \frac{1}{\frac{2ab}{a+b} — a} + \frac{1}{\frac{2ab}{a+b} — b} \)

Упростим каждую дробь отдельно:

\( \frac{1}{\frac{2ab — a(a+b)}{a+b}} = \frac{a+b}{2ab — a^2 — ab} = \frac{a+b}{ab-a^2} \)

\( \frac{1}{\frac{2ab — b(a+b)}{a+b}} = \frac{a+b}{2ab — ab — b^2} = \frac{a+b}{ab-b^2} \)

Теперь сложим дроби:

\( \frac{a+b}{ab-a^2} + \frac{a+b}{ab-b^2} \)

Приведем к общему знаменателю:

\( = \frac{(a+b)(ab-b^2) + (a+b)(ab-a^2)}{(ab-a^2)(ab-b^2)} \)

Раскроем скобки в числителе:

\( = \frac{(a+b)ab — (a+b)b^2 + (a+b)ab — (a+b)a^2}{(ab-a^2)(ab-b^2)} \)

Сократим одинаковые члены:

\( = \frac{2ab(a+b) — b^2(a+b) — a^2(a+b)}{ab(b-a)(b+a)} \)

Упростим выражение:

\( = \frac{b^2+ab — a^2-ab}{ab(b-a)} \)

Сократим числитель:

\( = \frac{b^2-a^2}{ab(b-a)} \)

Разложим разность квадратов:

\( = \frac{(b-a)(b+a)}{ab(b-a)} \)

Сократим \( (b-a) \):

\( = \frac{b+a}{ab} \)

Таким образом, мы получили:

\( = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \)

ЧТД (что и требовалось доказать).

Оцени решение

← Предыдущий Следующий →

Сообщить об ошибке

Алгебра