Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 253 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
При каких значениях x имеет смысл выражение:
а) \(\frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{3x}\) \(\frac{1}{x^2-4}\);
б) \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}}}\)?
а)
\(\frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{3x} = \left(\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}\right) \cdot \frac{3x}{x^2-4} = \frac{(x+2+x(x-2))(x^2-4)}{3x(x-2)(x+2)}\)
Условия:
\(x — 2 \neq 0\)
\(x + 2 \neq 0\)
\(x \neq 0\)
Ответ: любые значения переменной, кроме 0, -2, 2.
б)
\(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}}}\)
Условия:
\(x \neq 0\)
\(x \neq 1\)
Ответ: любые значения переменной, кроме 0, 1.
а) Решение выражения:
Дано выражение: \(\frac{\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2}}{3x}\)
Объединим дроби в числителе:
\[
\frac{1}{x-2} + \frac{x}{x+2} = \frac{(x+2) + x(x-2)}{(x-2)(x+2)}
\]
Упростим числитель:
\[
(x+2) + x(x-2) = x + 2 + x^2 — 2x = x^2 — x + 2
\]
Теперь полное выражение принимает вид:
\[
\frac{x^2 — x + 2}{(x-2)(x+2)} \cdot \frac{1}{3x}
\]
Условия, при которых выражение имеет смысл:
- \(x — 2 \neq 0 \rightarrow x \neq 2\)
- \(x + 2 \neq 0 \rightarrow x \neq -2\)
- \(x \neq 0\)
Ответ: любые значения переменной, кроме 0, -2, 2.
б) Решение выражения:
Дано выражение: \(\frac{1}{1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}}}\)
Рассмотрим внутреннюю часть:
\[
1 — \frac{1}{1 — \frac{1}{x}} = 1 — \frac{x}{x-1}
\]
Упростим:
\[
1 — \frac{x}{x-1} = \frac{x-1-x}{x-1} = \frac{-1}{x-1}
\]
Теперь выражение принимает вид:
\[
\frac{1}{1 — \frac{-1}{x-1}} = \frac{1}{\frac{x}{x-1}} = \frac{x-1}{x}
\]
Условия, при которых выражение имеет смысл:
- \(x \neq 0\)
- \(x \neq 1\)
Ответ: любые значения переменной, кроме 0, 1.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.