Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 250 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:
\[ a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3. \]
\[
a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3
\]
\[
a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 — \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3
\]
\[
= \frac{a^3(a^3+2b^3)^3 — b^3(b^3+2a^3)^3}{(a^3-b^3)^3}
\]
\[
= \frac{a^9+6a^6b^3+6a^3b^6+8b^9 — (b^9+6b^6a^3+6b^3a^6+8a^9)}{(a^3-b^3)^3}
\]
\[
= \frac{a^{12}+6a^9b^3+6a^6b^6+8a^3b^9 — b^{12}-6b^9a^3-6b^6a^6-8a^9b^3}{(a^3-b^3)^3}
\]
\[
= \frac{a^{12}-b^{12}-2a^9b^3+2a^3b^9}{(a^3-b^3)^3}
\]
\[
= \frac{(a^6-b^6)(a^6+b^6-2a^3b^3)}{(a^3-b^3)^3}
\]
\[
= \frac{(a^3-b^3)(a^3+b^3)(a^3-b^3)^2}{(a^3-b^3)^3}
\]
\[
= a^3 + b^3
\]
Доказано.
Начнем с выражения:
\( a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 \)
Преобразуем выражение:
\( a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 — \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 \)
Раскрываем скобки:
\( = \frac{a^3(a^3+2b^3)^3 — b^3(b^3+2a^3)^3}{(a^3-b^3)^3} \)
Упрощаем выражение:
\( = \frac{a^9+6a^6b^3+6a^3b^6+8b^9 — (b^9+6b^6a^3+6b^3a^6+8a^9)}{(a^3-b^3)^3} \)
Сокращаем подобные члены:
\( = \frac{a^{12}+6a^9b^3+6a^6b^6+8a^3b^9 — b^{12}-6b^9a^3-6b^6a^6-8a^9b^3}{(a^3-b^3)^3} \)
Дальнейшее упрощение:
\( = \frac{a^{12}-b^{12}-2a^9b^3+2a^3b^9}{(a^3-b^3)^3} \)
Разложение на множители:
\( = \frac{(a^6-b^6)(a^6+b^6-2a^3b^3)}{(a^3-b^3)^3} \)
Факторизация:
\( = \frac{(a^3-b^3)(a^3+b^3)(a^3-b^3)^2}{(a^3-b^3)^3} \)
Окончательное упрощение:
\( = a^3 + b^3 \)
Таким образом, доказано, что:
\( a^3 + b^3 = a^3 + b^3 \)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.