1-11 класс
  • 1-11 класс
  • 1 класс
  • 2 класс
  • 3 класс
  • 4 класс
  • 5 класс
  • 6 класс
  • 7 класс
  • 8 класс
  • 9 класс
  • 10 класс
  • 11 класс
Выберите класс
Предметы
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Учебник 📕 Макарычев, Миндюк — Все Части
Алгебра
8 класс учебник Макарычев
8 класс
Тип
ГДЗ, Решебник.
Автор
Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И.
Год
2019-2024.
Описание

ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 250 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Задача

Одно из тождеств, приведённых знаменитым математиком XVIII в. Л. Эйлером, выглядит так:

\[ a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3 + b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3 + 2b^3)}{a^3 — b^3} \right)^3. \]

Краткий ответ:

\[
a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3
\]

\[
a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 — \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3
\]

\[
= \frac{a^3(a^3+2b^3)^3 — b^3(b^3+2a^3)^3}{(a^3-b^3)^3}
\]

\[
= \frac{a^9+6a^6b^3+6a^3b^6+8b^9 — (b^9+6b^6a^3+6b^3a^6+8a^9)}{(a^3-b^3)^3}
\]

\[
= \frac{a^{12}+6a^9b^3+6a^6b^6+8a^3b^9 — b^{12}-6b^9a^3-6b^6a^6-8a^9b^3}{(a^3-b^3)^3}
\]

\[
= \frac{a^{12}-b^{12}-2a^9b^3+2a^3b^9}{(a^3-b^3)^3}
\]

\[
= \frac{(a^6-b^6)(a^6+b^6-2a^3b^3)}{(a^3-b^3)^3}
\]

\[
= \frac{(a^3-b^3)(a^3+b^3)(a^3-b^3)^2}{(a^3-b^3)^3}
\]

\[
= a^3 + b^3
\]

Доказано.

Подробный ответ:

Начнем с выражения:

\( a^3 + b^3 + \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 \)

Преобразуем выражение:

\( a^3 + b^3 = \left( \frac{a(a^3+2b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 — \left( \frac{b(2a^3+b^3)}{a^3-b^3} \right)^3 \)

Раскрываем скобки:

\( = \frac{a^3(a^3+2b^3)^3 — b^3(b^3+2a^3)^3}{(a^3-b^3)^3} \)

Упрощаем выражение:

\( = \frac{a^9+6a^6b^3+6a^3b^6+8b^9 — (b^9+6b^6a^3+6b^3a^6+8a^9)}{(a^3-b^3)^3} \)

Сокращаем подобные члены:

\( = \frac{a^{12}+6a^9b^3+6a^6b^6+8a^3b^9 — b^{12}-6b^9a^3-6b^6a^6-8a^9b^3}{(a^3-b^3)^3} \)

Дальнейшее упрощение:

\( = \frac{a^{12}-b^{12}-2a^9b^3+2a^3b^9}{(a^3-b^3)^3} \)

Разложение на множители:

\( = \frac{(a^6-b^6)(a^6+b^6-2a^3b^3)}{(a^3-b^3)^3} \)

Факторизация:

\( = \frac{(a^3-b^3)(a^3+b^3)(a^3-b^3)^2}{(a^3-b^3)^3} \)

Окончательное упрощение:

\( = a^3 + b^3 \)

Таким образом, доказано, что:

\( a^3 + b^3 = a^3 + b^3 \)



Общая оценка
3.6 / 5
Комментарии
Другие предметы
Как выбрать ГДЗ по математике

Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.