ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 249 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите тождество
\(\frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2 — p^2} — \frac{2}{p+2q} = \frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2 + 4q^2}{p^2 — 4q^2} + 1 \right)\)
\(\frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2-p^2} — \frac{2}{p+2q} = \frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2} + 1 \right)\)
1) \(\frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2-p^2} — \frac{2}{p+2q} = \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)} — \frac{2}{p+2q}\)
\[= \frac{1}{p-2q} — \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)} — \frac{2}{p+2q} = \frac{2(p-2q)}{(p-2q)(p+2q)}\]
\[= \frac{p+2q-6q-(2p-4q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{-p}{p^2-4q^2}\]
2) \(-\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2} + 1 \right) = -\frac{1}{2p} \cdot \frac{p^2+4q^2+p^2-4q^2}{p^2-4q^2}\)
\[= -\frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2-4q^2} = -\frac{p}{p^2-4q^2}\]
Упростить выражение:
\(\frac{1}{p-2q} + \frac{6q}{4q^2-p^2} — \frac{2}{p+2q} = \frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2} + 1 \right)\)
Шаг 1: Упрощение левой части
Общий знаменатель: \((p-2q)(p+2q)\).
Переписываем дроби с общим знаменателем:
- \(\frac{1}{p-2q} = \frac{p+2q}{(p-2q)(p+2q)}\)
- \(\frac{6q}{4q^2-p^2} = \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)}\)
- \(\frac{2}{p+2q} = \frac{2(p-2q)}{(p-2q)(p+2q)}\)
Суммируем дроби:
\(\frac{p+2q}{(p-2q)(p+2q)} + \frac{6q}{(p-2q)(p+2q)} — \frac{2(p-2q)}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{p+2q + 6q — 2(p-2q)}{(p-2q)(p+2q)}\)
Упрощаем числитель:
\(p + 2q + 6q — 2p + 4q = -p\)
Итак, левая часть равна:
\(\frac{-p}{(p-2q)(p+2q)} = \frac{-p}{p^2-4q^2}\)
Шаг 2: Упрощение правой части
Раскрываем скобки:
\(-\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2+4q^2}{p^2-4q^2} + 1 \right) = -\frac{1}{2p} \cdot \left( \frac{p^2+4q^2 + p^2 — 4q^2}{p^2-4q^2} \right)\)
Упрощаем числитель:
\(p^2 + 4q^2 + p^2 — 4q^2 = 2p^2\)
Получаем:
\(-\frac{1}{2p} \cdot \frac{2p^2}{p^2-4q^2} = -\frac{p}{p^2-4q^2}\)
Вывод
Левая и правая части равны:
\(\frac{-p}{p^2-4q^2} = \frac{-p}{p^2-4q^2}\)
Таким образом, тождество доказано.
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.