Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 244 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если m ≠ n, m ≠ 0 и n ≠ 0, то значение выражения
\[
\frac{2}{mn} \cdot \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2 + n^2}{(m-n)^2}
\]
не зависит от значений переменных.
\[\frac{2}{mn} \cdot \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} = \]
\[\frac{2}{mn} \cdot \left( \frac{mn}{n-m} \right)^2 — \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2} = \]
\[\frac{2}{mn} \cdot \frac{(mn)^2}{(n-m)^2} — \frac{m^2+n^2}{(n-m)^2} = \]
\[\frac{2mn}{(n-m)^2} — \frac{m^2+n^2}{(n-m)^2} = \]
\[\frac{2mn — (m^2+n^2)}{(n-m)^2} = \]
\[\frac{-(m^2+n^2-2mn)}{(n-m)^2} = \]
\[\frac{-(n-m)^2}{(n-m)^2} = -1\]
Докажем, что значение выражения не зависит от значений переменных m и n:
Исходное выражение:
\frac{2}{mn} \cdot \left( \frac{1}{m} — \frac{1}{n} \right)^2 — \frac{m^2+n^2}{(m-n)^2}
\]
Раскроем скобки в первой части выражения:
\frac{2}{mn} \cdot \left( \frac{mn}{n-m} \right)^2
\]
Упростим выражение:
\frac{2}{mn} \cdot \frac{(mn)^2}{(n-m)^2}
\]
Объединим дроби:
\frac{2mn}{(n-m)^2} — \frac{m^2+n^2}{(n-m)^2}
\]
Вычтем дроби:
\frac{2mn — (m^2+n^2)}{(n-m)^2}
\]
Упростим выражение:
\frac{-(m^2+n^2-2mn)}{(n-m)^2}
\]
Применим формулу разности квадратов:
\frac{-(n-m)^2}{(n-m)^2} = -1
\]
Таким образом, значение выражения всегда равно -1, независимо от значений m и n, при условии, что m ≠ n, m ≠ 0 и n ≠ 0.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.