Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 243 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а)
\[
\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — ab + bx} \cdot \frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab}
\]
б)
\[\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab} \cdot \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab}\]
а)
\[\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — ab + bx} \cdot \frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab} =\]
\[\frac{a(a-x) + b(a-x)}{a(a+x) + b(a+x)} \cdot \frac{a(a-x) — b(a-x)}{a(a+x) — b(a+x)}\]
\[= \frac{(a-x)(a+b)}{(a+x)(a+b)} \cdot \frac{(a-x)(a-b)}{(a+x)(a-b)} = \frac{(a-x)^2}{(a+x)^2} \cdot \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} =\]
\[\frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 — 2ab + b^2}\]
б)
\[\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab} \cdot \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab} =\]
\[\frac{x(x-b) + a(x-b)}{x(x+b) + a(x+b)} \cdot \frac{x(x+b) — a(x+b)}{x(x-b) — a(x-b)}\]
\[= \frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x+a)} \cdot \frac{(x-b)(x-a)}{(x+b)(x-a)} = \frac{(x-b)^2}{(x+b)^2} \cdot \frac{(x+a)^2}{(x-a)^2} =\]
\[\frac{x^2 — 2xb + b^2}{x^2 + 2xb + b^2}\]
а)
Упростим выражение:
\(\frac{a^2 + ax + ab + bx}{a^2 — ax — ab + bx} \cdot \frac{a^2 — ax — bx + ab}{a^2 + ax — bx — ab}\)
Распишем числитель и знаменатель каждого дроби:
\(a^2 + ax + ab + bx = a(a + x) + b(a + x)\)
\(a^2 — ax — ab + bx = a(a — x) + b(a — x)\)
\(a^2 — ax — bx + ab = a(a — x) — b(a — x)\)
\(a^2 + ax — bx — ab = a(a + x) — b(a + x)\)
Перепишем дроби:
\(\frac{a(a-x) + b(a-x)}{a(a+x) + b(a+x)} \cdot \frac{a(a-x) — b(a-x)}{a(a+x) — b(a+x)}\)
Вынесем общие множители:
\(\frac{(a-x)(a+b)}{(a+x)(a+b)} \cdot \frac{(a-x)(a-b)}{(a+x)(a-b)}\)
Упростим выражение:
\(\frac{(a-x)^2}{(a+x)^2} \cdot \frac{(a+b)^2}{(a-b)^2} = \frac{a^2 + 2ab + b^2}{a^2 — 2ab + b^2}\)
б)
Упростим выражение:
\(\frac{x^2 — bx + ax — ab}{x^2 + bx — ax — ab} \cdot \frac{x^2 + bx + ax + ab}{x^2 — bx — ax + ab}\)
Распишем числитель и знаменатель каждого дроби:
\(x^2 — bx + ax — ab = x(x-b) + a(x-b)\)
\(x^2 + bx — ax — ab = x(x+b) — a(x+b)\)
\(x^2 + bx + ax + ab = x(x+b) + a(x+b)\)
\(x^2 — bx — ax + ab = x(x-b) — a(x-b)\)
Перепишем дроби:
\(\frac{x(x-b) + a(x-b)}{x(x+b) + a(x+b)} \cdot \frac{x(x+b) — a(x+b)}{x(x-b) — a(x-b)}\)
Вынесем общие множители:
\(\frac{(x-b)(x+a)}{(x+b)(x+a)} \cdot \frac{(x-b)(x-a)}{(x+b)(x-a)}\)
Упростим выражение:
\(\frac{(x-b)^2}{(x+b)^2} \cdot \frac{(x+a)^2}{(x-a)^2} = \frac{x^2 — 2xb + b^2}{x^2 + 2xb + b^2}\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.