Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 242 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите такие значения a и b, при которых выполняется тождество:
а) \(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}\);
б) \(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} — \frac{b}{x+2}\).
а) \(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}\)
\[\frac{a(x+3)}{x-2} + \frac{b(x-2)}{x+3} = \frac{ax+3a+bx-2b}{(x-2)(x+3)} = \frac{x(a+b)+(3a-2b)}{(x-2)(x+3)}\]
\[\begin{cases}a + b = 5 \\3a — 2b = 0\end{cases}\]
\[b = 5 — a\]
\[3a — 2(5 — a) = 0\]
\[3a — 10 + 2a = 0\]
\[5a = 10\]
\[a = 2\]
\[b = 3\]
Ответ: \(a = 2, b = 3\)
б) \(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} — \frac{b}{x+2}\)
\[\frac{a(x+2)}{x-5} — \frac{b(x-5)}{x+2} = \frac{ax+2a-bx+5b}{(x-5)(x+2)} = \frac{x(a-b)+(5b+2a)}{(x-5)(x+2)}\]
\[\begin{cases}a — b = 5 \\2a + 5b = 31\end{cases}\]
\[b = a — 5\]
\[2a + 5(a — 5) = 31\]
\[2a + 5a — 25 = 31\]
\[7a = 56\]
\[a = 8\]
\[b = 3\]
Ответ: \(a = 8, b = 3\)
а) Найти \(a\) и \(b\) для уравнения:
\(\frac{5x}{(x-2)(x+3)} = \frac{a}{x-2} + \frac{b}{x+3}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{a(x+3)}{(x-2)(x+3)} + \frac{b(x-2)}{(x-2)(x+3)} = \frac{ax + 3a + bx — 2b}{(x-2)(x+3)}\)
Приравняем числители:
\(ax + 3a + bx — 2b = 5x\)
Сгруппируем по \(x\) и свободным членам:
\((a + b)x + (3a — 2b) = 5x\)
Получаем систему уравнений:
- \(a + b = 5\)
- \(3a — 2b = 0\)
Решим систему:
Из первого уравнения: \(b = 5 — a\)
Подставим во второе уравнение:
\(3a — 2(5 — a) = 0\)
\(3a — 10 + 2a = 0\)
\(5a = 10\)
\(a = 2\)
Подставим \(a\) во выражение для \(b\):
\(b = 5 — 2 = 3\)
Ответ: \(a = 2, b = 3\)
б) Найти \(a\) и \(b\) для уравнения:
\(\frac{5x + 31}{(x-5)(x+2)} = \frac{a}{x-5} — \frac{b}{x+2}\)
Приведем к общему знаменателю:
\(\frac{a(x+2)}{(x-5)(x+2)} — \frac{b(x-5)}{(x-5)(x+2)} = \frac{ax + 2a — bx + 5b}{(x-5)(x+2)}\)
Приравняем числители:
\(ax + 2a — bx + 5b = 5x + 31\)
Сгруппируем по \(x\) и свободным членам:
\((a — b)x + (2a + 5b) = 5x + 31\)
Получаем систему уравнений:
- \(a — b = 5\)
- \(2a + 5b = 31\)
Решим систему:
Из первого уравнения: \(b = a — 5\)
Подставим во второе уравнение:
\(2a + 5(a — 5) = 31\)
\(2a + 5a — 25 = 31\)
\(7a = 56\)
\(a = 8\)
Подставим \(a\) во выражение для \(b\):
\(b = 8 — 5 = 3\)
Ответ: \(a = 8, b = 3\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.