Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 237 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Упростите выражение:
а) \(\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)}\);
б) \(\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}\).
а)
\[
\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)}
\]
Решение:
1. Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)} =\]
\[\frac{bc(b-c) + ac(a-c) + ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}
\]
2. Упрощение числителя:
\[
bc(b-c) + ac(a-c) + ab(a-b) = b^2c — bc^2 + a^2c — ac^2 + a^2b — ab^2
\]
3. Сокращение:
\[
= (a-b)(b-c)(c-a) = \frac{1}{abc}
\]
б)
\[
\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}
\]
Решение:
1. Приведение к общему знаменателю:
\[
\frac{x^2(y-z) + y^2(x-z) + z^2(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
\]
2. Упрощение числителя:
\[
x^2(y-z) + y^2(x-z) + z^2(x-y)
\]
3. Сокращение:
\[
= y(x-z)(x+z)-xz(x-z)-y^2(x-z) = (x-y)(y-z)(z-x)
\]
Итог:
\[
= 1
\]
Упрощение выражения a)
Рассмотрим выражение:
\[
\frac{1}{a(a-b)(a-c)} + \frac{1}{b(b-c)(b-a)} + \frac{1}{c(c-a)(c-b)}
\]
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель: \(abc(a-b)(a-c)(b-c)\).
Приведем дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{bc(b-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} + \frac{ac(a-c)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} +\]
\[\frac{ab(a-b)}{abc(a-b)(a-c)(b-c)}
\]
Шаг 2: Упрощение числителя
Числитель:
\[
bc(b-c) + ac(a-c) + ab(a-b)
\]
Раскроем скобки:
\[
= b^2c — bc^2 + a^2c — ac^2 + a^2b — ab^2
\]
Шаг 3: Сокращение
После упрощения и сокращения получаем:
\[
\frac{b^2c — bc^2 + a^2c — ac^2 + a^2b — ab^2}{abc(a-b)(a-c)(b-c)} = \frac{1}{abc}
\]
Упрощение выражения б)
Рассмотрим выражение:
\[
\frac{x^2}{(x-y)(x-z)} + \frac{y^2}{(y-x)(y-z)} + \frac{z^2}{(z-x)(z-y)}
\]
Шаг 1: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель: \((x-y)(y-z)(z-x)\).
Приведем дроби к общему знаменателю:
\[
\frac{x^2(y-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)} + \frac{y^2(x-z)}{(x-y)(y-z)(z-x)} +\]
\[\frac{z^2(x-y)}{(x-y)(y-z)(z-x)}
\]
Шаг 2: Упрощение числителя
Числитель:
\[
x^2(y-z) + y^2(x-z) + z^2(x-y)
\]
Раскроем скобки и упростим:
\[
= x^2y — x^2z + y^2x — y^2z + z^2x — z^2y
\]
Шаг 3: Сокращение
После упрощения и сокращения получаем:
\[
\frac{x^2y — x^2z + y^2x — y^2z + z^2x — z^2y}{(x-y)(y-z)(z-x)} = 1
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.