Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 236 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что тождественно равны выражения:
\[
\frac{ax + by}{(a-b)(x+y)} — \frac{bx — ay}{(a+b)(x+y)}
\]
и
\[
\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}
\]
\[
\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} — \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}
\]
\[
\frac{ax+by}{(a-b)(x+y)} \cdot (a+b) — \frac{bx-ay}{(a+b)(x+y)} \cdot (a-b) =\]
\[\frac{(ax+by)(a+b) — (bx-ay)(a-b)}{(a-b)(a+b)(x+y)}
\]
\[
= \frac{a^2x+axb+aby+b^2y — (abx-b^2x-a^2y+aby)}{(a-b)(a+b)(x+y)}
\]
\[
= \frac{a^2x+axb+aby+b^2y-abx+b^2x+a^2y-abay}{(a-b)(a+b)(x+y)}
\]
\[
= \frac{a^2x+b^2y+b^2x+a^2y}{(a-b)(a+b)(x+y)} = \frac{a^2(x+y)+b^2(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}
\]
\[
= \frac{(a^2+b^2)(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)} = \frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}
\]
Доказать, что:
\[
\frac{ax + by}{(a-b)(x+y)} — \frac{bx — ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}
\]
1. Приведем выражения к общему знаменателю:
\[
\frac{ax + by}{(a-b)(x+y)} \cdot \frac{a+b}{a+b} — \frac{bx — ay}{(a+b)(x+y)} \cdot \frac{a-b}{a-b}
\]
Общий знаменатель: \((a-b)(a+b)(x+y)\)
2. Вычислим числитель:
\[
(ax + by)(a+b) — (bx — ay)(a-b)
\]
Раскрываем скобки:
\[
a^2x + abx + aby + b^2y — (abx — b^2x — a^2y + aby)
\]
3. Упрощаем выражение:
В числителе получаем:
\[
a^2x + abx + aby + b^2y — abx + b^2x + a^2y — aby
\]
Сокращаем и группируем:
\[
a^2x + b^2x + a^2y + b^2y = a^2(x+y) + b^2(x+y)
\]
4. Подставляем в дробь:
\[
\frac{a^2(x+y) + b^2(x+y)}{(a-b)(a+b)(x+y)}
\]
Сокращаем на \((x+y)\):
\[
\frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}
\]
Таким образом, мы доказали, что:
\[
\frac{ax + by}{(a-b)(x+y)} — \frac{bx — ay}{(a+b)(x+y)} = \frac{a^2 + b^2}{a^2 — b^2}
\]
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.