ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 226 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.

Пусть \(\frac{a}{b}\) — правильная несократимая дробь.
Тогда \(1 — \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}\) — дробь, дополняющая её до единицы.
Доказательство от противного. Предположим, что \(\frac{b-a}{b}\) сократима на \(k\), т.е. \(b — a = kx\) и \(b = ky\).
\(a = b — kx = ky — kx = k(y — x)\).

Тогда \(\frac{a}{b} = \frac{k(y-x)}{ky}\) — можно сократить на \(k\), это противоречит условию. Следовательно, \(\frac{b-a}{b}\) — несократима.

Пусть \(\frac{a}{b}\) — правильная несократимая дробь.

Тогда дробь, дополняющая её до единицы, равна:

\(1 — \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}\)

Необходимо доказать, что дробь \(\frac{b-a}{b}\) также несократима.

Доказательство от противного

Предположим, что дробь \(\frac{b-a}{b}\) сократима, то есть:

\(b-a = kx\) и \(b = ky\)

где \(k\) — натуральное число, а \(x\) и \(y\) — целые числа.

Тогда:

\(a = b — (b-a) = ky — kx = k(y — x)\)

Таким образом, дробь \(\frac{a}{b}\) может быть сокращена на \(k\):

\(\frac{a}{b} = \frac{k(y-x)}{ky}\)

Это противоречит условию, что \(\frac{a}{b}\) — несократимая дробь.

Следовательно, наше предположение неверно, и дробь \(\frac{b-a}{b}\) действительно несократима.