Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 226 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если правильная обыкновенная дробь \(\frac{a}{b}\) несократима, то дробь, дополняющая её до единицы, также несократима.
Пусть \(\frac{a}{b}\) — правильная несократимая дробь.
Тогда \(1 — \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}\) — дробь, дополняющая её до единицы.
Доказательство от противного. Предположим, что \(\frac{b-a}{b}\) сократима на \(k\), т.е. \(b — a = kx\) и \(b = ky\).
\(a = b — kx = ky — kx = k(y — x)\).
Тогда \(\frac{a}{b} = \frac{k(y-x)}{ky}\) — можно сократить на \(k\), это противоречит условию. Следовательно, \(\frac{b-a}{b}\) — несократима.
Пусть \(\frac{a}{b}\) — правильная несократимая дробь.
Тогда дробь, дополняющая её до единицы, равна:
\(1 — \frac{a}{b} = \frac{b-a}{b}\)
Необходимо доказать, что дробь \(\frac{b-a}{b}\) также несократима.
Доказательство от противного
Предположим, что дробь \(\frac{b-a}{b}\) сократима, то есть:
\(b-a = kx\) и \(b = ky\)
где \(k\) — натуральное число, а \(x\) и \(y\) — целые числа.
Тогда:
\(a = b — (b-a) = ky — kx = k(y — x)\)
Таким образом, дробь \(\frac{a}{b}\) может быть сокращена на \(k\):
\(\frac{a}{b} = \frac{k(y-x)}{ky}\)
Это противоречит условию, что \(\frac{a}{b}\) — несократимая дробь.
Следовательно, наше предположение неверно, и дробь \(\frac{b-a}{b}\) действительно несократима.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.