ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 223 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что если \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), то \(a = b = c\).

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\)

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\), \(b^2 = ac\) (по свойству пропорции).
\(\frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), \(c^2 = ab\) (по свойству пропорции).
\(\frac{c}{a} = \frac{a}{b}\), \(a^2 = bc\) (по свойству пропорции).

\(\frac{a^2}{b^2} = \frac{bc}{ac} = \frac{b}{a}\), т.е. \(a^3 = b^3\), значит \(a = b\).

\(\frac{a^2}{c^2} = \frac{bc}{ab} = \frac{a^2}{c^2}\), т.е. \(a^3 = c^3\), значит \(a = c\).

Следовательно, \(a = b = c\).

Рассмотрим условие:

\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\)

Это означает, что существует некоторое общее значение \(k\), такое что:

• \(\frac{a}{b} = k \Rightarrow a = kb\)
• \(\frac{b}{c} = k \Rightarrow b = kc\)
• \(\frac{c}{a} = k \Rightarrow c = ka\)

Шаги доказательства

1. Выразим переменные через \(k\)

Подставляем значения:

• Из \(\frac{a}{b} = k\) получаем \(a = kb\)
• Из \(\frac{b}{c} = k\) получаем \(b = kc\)
• Из \(\frac{c}{a} = k\) получаем \(c = ka\)

2. Подставим \(b\) и \(c\) в выражение для \(a\)

• Подставим \(b = kc\) в \(a = kb\):
• \(a = k(kc) = k^2c\)
• Подставим \(c = ka\) в \(b = kc\):
• \(b = k(ka) = k^2a\)

3. Равенство всех переменных

Из \(a = k^2c\) и \(c = ka\) следует:

• \(a = k^2(ka) = k^3a\)

Так как \(a \neq 0\), то \(k^3 = 1\), откуда \(k = 1\).

Таким образом, \(a = b = c\).

Заключение

Следовательно, если \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), то действительно \(a = b = c\).