Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 223 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Докажите, что если \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), то \(a = b = c\).
\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\)
\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\), \(b^2 = ac\) (по свойству пропорции).
\(\frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), \(c^2 = ab\) (по свойству пропорции).
\(\frac{c}{a} = \frac{a}{b}\), \(a^2 = bc\) (по свойству пропорции).
\(\frac{a^2}{b^2} = \frac{bc}{ac} = \frac{b}{a}\), т.е. \(a^3 = b^3\), значит \(a = b\).
\(\frac{a^2}{c^2} = \frac{bc}{ab} = \frac{a^2}{c^2}\), т.е. \(a^3 = c^3\), значит \(a = c\).
Следовательно, \(a = b = c\).
Рассмотрим условие:
\(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\)
Это означает, что существует некоторое общее значение \(k\), такое что:
- \(\frac{a}{b} = k \Rightarrow a = kb\)
- \(\frac{b}{c} = k \Rightarrow b = kc\)
- \(\frac{c}{a} = k \Rightarrow c = ka\)
Шаги доказательства
1. Выразим переменные через \(k\)
Подставляем значения:
- Из \(\frac{a}{b} = k\) получаем \(a = kb\)
- Из \(\frac{b}{c} = k\) получаем \(b = kc\)
- Из \(\frac{c}{a} = k\) получаем \(c = ka\)
2. Подставим \(b\) и \(c\) в выражение для \(a\)
- Подставим \(b = kc\) в \(a = kb\):
- \(a = k(kc) = k^2c\)
- Подставим \(c = ka\) в \(b = kc\):
- \(b = k(ka) = k^2a\)
3. Равенство всех переменных
Из \(a = k^2c\) и \(c = ka\) следует:
- \(a = k^2(ka) = k^3a\)
Так как \(a \neq 0\), то \(k^3 = 1\), откуда \(k = 1\).
Таким образом, \(a = b = c\).
Заключение
Следовательно, если \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{a}\), то действительно \(a = b = c\).
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.