Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 220 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Выполните сокращение:
a) \( b^{14} — b^7 + 1 \) / \( b^{21} + 1 \)
б) \( \frac{x^{33} — 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}} \)
в) \( \frac{x(y — z) — y(x-z)}{x(y-z)^2 — y(x-z)^2} \)
г) \( \frac{a(b+1)^2 — b(a+1)^2}{a(b+1) — b(a+1)} \)
Если вам нужно подробное решение этих задач, пожалуйста, дайте знать!
a) \(\frac{b^{14} — b^7 + 1}{b^{21} + 1} = \frac{b^7 + 1}{(b^7 + 1)(b^7 — 1)} = \frac{1}{b^7 + 1}\)
б) \(\frac{x^{33} — 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}} = \frac{(x^{11} — 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)} = \frac{x^{11} — 1}{x^{11}}\)
в) \(\frac{x(y-z) — y(x-z)}{x(y-z)^2 — y(x-z)^2} = \frac{xy — xz — yx + yz}{x(y^2 — 2yz + z^2) — y(x^2 — 2xz + z^2)} =\)
\(\frac{-xz + yz}{z(y-x)} = \frac{xy(y-x) — z^2(y-x)}{z(y-x)} = xy — z^2\)
г) \(\frac{a(b+1)^2 — b(a+1)^2}{a(b+1) — b(a+1)} = \frac{a(b^2 + 2b + 1) — b(a^2 + 2a + 1)}{ab + a — ab — b} =\)
\(\frac{ab^2 + 2ab + a — a^2b — 2ab — b}{a-b} = \frac{-ab(a-b) + (a-b)}{a-b} = (a-b)(1-ab) = 1-ab\)
Задача a)
Упростить выражение: \(\frac{b^{14} — b^7 + 1}{b^{21} + 1}\)
Рассмотрим числитель:
\(b^{14} — b^7 + 1 = (b^7 + 1)(b^7 — 1)\)
Это разложение на множители.
Теперь рассмотрим знаменатель:
\(b^{21} + 1 = (b^7 + 1)(b^{14} — b^7 + 1)\)
Таким образом, дробь упрощается до:
\(\frac{b^7 + 1}{(b^7 + 1)(b^7 — 1)} = \frac{1}{b^7 + 1}\)
Задача б)
Упростить выражение: \(\frac{x^{33} — 1}{x^{33} + x^{22} + x^{11}}\)
Рассмотрим числитель:
\(x^{33} — 1 = (x^{11} — 1)(x^{22} + x^{11} + 1)\)
Рассмотрим знаменатель:
\(x^{33} + x^{22} + x^{11} = x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)\)
Таким образом, дробь упрощается до:
\(\frac{(x^{11} — 1)(x^{22} + x^{11} + 1)}{x^{11}(x^{22} + x^{11} + 1)} = \frac{x^{11} — 1}{x^{11}}\)
Задача в)
Упростить выражение: \(\frac{x(y-z) — y(x-z)}{x(y-z)^2 — y(x-z)^2}\)
Рассмотрим числитель:
\(x(y-z) — y(x-z) = xy — xz — yx + yz = yz — xz\)
Рассмотрим знаменатель:
\(x(y-z)^2 — y(x-z)^2 = x(y^2 — 2yz + z^2) — y(x^2 — 2xz + z^2)\)
Упростим:
\(xy^2 — 2xyz + xz^2 — x^2y + 2xyz — yz^2 = xy^2 — x^2y — yz^2 + xz^2\)
Теперь заметим, что:
\(xy(y-x) — z^2(y-x) = (xy — z^2)(y-x)\)
Таким образом, дробь упрощается до:
\(\frac{yz — xz}{z(y-x)} = xy — z^2\)
Задача г)
Упростить выражение: \(\frac{a(b+1)^2 — b(a+1)^2}{a(b+1) — b(a+1)}\)
Рассмотрим числитель:
\(a(b+1)^2 — b(a+1)^2 = a(b^2 + 2b + 1) — b(a^2 + 2a + 1)\)
Раскроем скобки:
\(ab^2 + 2ab + a — a^2b — 2ab — b = ab^2 + a — a^2b — b\)
Рассмотрим знаменатель:
\(a(b+1) — b(a+1) = ab + a — ab — b = a — b\)
Таким образом, дробь упрощается до:
\(\frac{-ab(a-b) + (a-b)}{a-b} = (a-b)(1-ab)\)
И окончательно:
\(1-ab\)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.