Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 209 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите все пары натуральных чисел \( a \) и \( b \), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}\).
\[
\frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5a^2+5+1}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1} = 5 + \frac{1}{a^2+1}
\]
Значение дроби \(\frac{1}{a^2+1}\) является целым числом тогда и только тогда, когда знаменатель \(a^2 + 1\) равен 1 и -1.
\[
a^2 + 1 = 1 \quad \Rightarrow \quad a^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0
\]
\[
a^2 + 1 = -1 \quad \Rightarrow \quad a^2 = -2 \quad \text{- не имеет смысла}
\]
Поэтому при любом целом \(a\), отличном от нуля, значение дроби \(\frac{5a^2+6}{a^2+1}\) не является целым числом.
Рассмотрим выражение:
\( \frac{5a^2+6}{a^2+1} = \frac{5a^2+5+1}{a^2+1} = \frac{5(a^2+1)+1}{a^2+1} = 5 + \frac{1}{a^2+1} \)
Мы видим, что:
- Значение дроби \( \frac{1}{a^2+1} \) является целым числом тогда и только тогда, когда знаменатель \( a^2 + 1 \) равен 1 или -1.
Рассмотрим оба случая:
1. Если \( a^2 + 1 = 1 \), то:
- \( a^2 = 0 \)
- \( a = 0 \)
2. Если \( a^2 + 1 = -1 \), то:
- \( a^2 = -2 \)
- Это не имеет смысла, так как квадрат числа не может быть отрицательным.
Следовательно, при любом целом \( a \), отличном от нуля, значение дроби \( \frac{5a^2+6}{a^2+1} \) не является целым числом.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.