ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 209 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите все пары натуральных чисел \( a \) и \( b \), если известно, что сумма обратных им чисел равна \(\frac{1}{7}\).

\[
\frac{1}{a} \text{ — число, обратное числу } a.
\]

\[
\frac{1}{b} \text{ — число, обратное числу } b.
\]

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}.
\]

\[
\frac{1}{a} = \frac{1}{7} — \frac{1}{b}.
\]

\[
\frac{1}{a} = \frac{b — 7}{7b}.
\]

\[
a = \frac{7b}{b — 7}.
\]

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7b + 49 — 49}{b — 7} = \frac{7(b — 7) + 49}{b — 7} =\]

\[\frac{7(b — 7)}{b — 7} + \frac{49}{b — 7} = 7 + \frac{49}{b — 7}.
\]

Значение дроби \(\frac{49}{b — 7}\) является целым числом тогда и только тогда, когда знаменатель \(b — 7\) равен \(1, 7, 49\):

\(b — 7 = 1 \Rightarrow b = 8,\)
\(b — 7 = 7 \Rightarrow b = 14,\)
\(b — 7 = 49 \Rightarrow b = 56.\)

При \(b = 8\):
\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 8}{8 — 7} = \frac{56}{1} = 56.
\]

При \(b = 14\):
\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 14}{14 — 7} = \frac{98}{7} = 14.
\]

При \(b = 56\):
\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 56}{56 — 7} = \frac{392}{49} = 8.
\]

Ответ:
\[
a = 56, b = 8; \quad a = 14, b = 14; \quad a = 8, b = 56.
\]

Решение:

Дано выражение:

\[
\frac{1}{a} \text{ — число, обратное числу } a.
\]

Так же для числа \( b \):

\[
\frac{1}{b} \text{ — число, обратное числу } b.
\]

3. Исходное уравнение:

\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{7}.
\]

4. Выразим \( \frac{1}{a} \) через \( \frac{1}{b} \). Для этого из уравнения вычитаем \( \frac{1}{b} \) из обеих частей уравнения:

\[
\frac{1}{a} = \frac{1}{7} — \frac{1}{b}.
\]

5. Чтобы привести дроби с разными знаменателями к общему знаменателю, приведем правую часть уравнения к общему знаменателю \( 7b \):

Для этого умножаем первую дробь на \( b \) в числителе и знаменателе, а вторую дробь — на 7 в числителе и знаменателе:

\[
\frac{1}{a} = \frac{b}{7b} — \frac{7}{7b}.
\]

6. После вычитания дробей с одинаковым знаменателем получаем:

\[
\frac{1}{a} = \frac{b — 7}{7b}.
\]

7. Теперь выразим \( a \), приравняв обе части уравнения:

\[
a = \frac{7b}{b — 7}.
\]

8. Чтобы лучше понять выражение для \( a \), преобразуем его в более удобную форму. Для этого разложим числитель:

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7b + 49 — 49}{b — 7}.
\]

9. Преобразуем выражение в числителе, выделив полный квадрат \( 7(b — 7) \):

\[
a = \frac{7(b — 7) + 49}{b — 7}.
\]

10. Теперь разделим выражение на два слагаемых:

\[
a = \frac{7(b — 7)}{b — 7} + \frac{49}{b — 7}.
\]

11. Сократим первый дробь \( \frac{7(b — 7)}{b — 7} = 7 \), и получаем:

\[
a = 7 + \frac{49}{b — 7}.
\]

12. Теперь рассмотрим дробь \( \frac{49}{b — 7} \), которая будет целым числом, когда знаменатель \( b — 7 \) будет целым делителем числа 49. Все делители числа 49: \( \pm 1, \pm 7, \pm 49 \). Следовательно, \( b — 7 \) должно быть одним из следующих значений: \( \pm 1, \pm 7, \pm 49 \).

• Когда \( b — 7 = 1 \Rightarrow b = 8 \),
• Когда \( b — 7 = 7 \Rightarrow b = 14 \),
• Когда \( b — 7 = 49 \Rightarrow b = 56 \),
• Когда \( b — 7 = -1 \Rightarrow b = 6 \),
• Когда \( b — 7 = -7 \Rightarrow b = 0 \),
• Когда \( b — 7 = -49 \Rightarrow b = -42 \).

13. Теперь подставим каждый из найденных значений \( b \) в выражение для \( a \), чтобы найти соответствующие значения \( a \):

При \( b = 8 \):

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 8}{8 — 7} = \frac{56}{1} = 56.
\]

При \( b = 14 \):

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 14}{14 — 7} = \frac{98}{7} = 14.
\]

При \( b = 56 \):

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 56}{56 — 7} = \frac{392}{49} = 8.
\]

При \( b = 6 \):

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 6}{6 — 7} = \frac{42}{-1} = -42.
\]

При \( b = 0 \):

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot 0}{0 — 7} = \frac{0}{-7} = 0.
\]

При \( b = -42 \):

\[
a = \frac{7b}{b — 7} = \frac{7 \cdot (-42)}{-42 — 7} = \frac{-294}{-49} = 6.
\]

Ответ: Точки \( (a, b) \): \( (56, 8), (14, 14), (8, 56), (-42, 6), (0, 0), (6, -42) \).