ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 208 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Докажите, что при любом целом \( a \), отличном от нуля, значение дроби \(\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1}\) не является целым числом.

\[
\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} = \frac{5a^2 + 5 + 1}{a^2 + 1} = \frac{5(a^2 + 1) + 1}{a^2 + 1} = 5 + \frac{1}{a^2 + 1}.
\]

Значение дроби \(\frac{1}{a^2 + 1}\) является целым числом тогда и только тогда, когда знаменатель \(a^2 + 1\) равен \(1\) и \(-1\):

— \(a^2 + 1 = 1 \Rightarrow a^2 = 0 \Rightarrow a = 0\),
— \(a^2 + 1 = -1 \Rightarrow a^2 = -2\) (не имеет смысла).

Поэтому при любом целом \(a\), отличном от нуля, значение дроби \(\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1}\) не является целым числом.

Решение:

Дано выражение:

\[
\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1}
\]

1. Разделим числитель на два слагаемых, выделив \( 5 \) как множитель:

\[
\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} = \frac{5a^2 + 5 + 1}{a^2 + 1} = \frac{5(a^2 + 1) + 1}{a^2 + 1}
\]

2. Теперь можно выделить дробь с общей частью \( (a^2 + 1) \) в числителе и знаменателе:

\[
\frac{5(a^2 + 1) + 1}{a^2 + 1} = 5 + \frac{1}{a^2 + 1}
\]

Теперь рассмотрим дробь \( \frac{1}{a^2 + 1} \). Для того чтобы эта дробь была целым числом, знаменатель \( a^2 + 1 \) должен быть равен целому числу.

3. Рассмотрим, когда \( \frac{1}{a^2 + 1} \) может быть целым числом. Для этого знаменатель должен быть \( 1 \) или \( -1 \), так как только в этом случае дробь \( \frac{1}{a^2 + 1} \) может быть целым числом. Решаем два случая:

• Когда \( a^2 + 1 = 1 \), получаем \( a^2 = 0 \), следовательно, \( a = 0 \).
• Когда \( a^2 + 1 = -1 \), получаем \( a^2 = -2 \), что невозможно, так как квадрат любого числа не может быть отрицательным.

Таким образом, дробь \( \frac{1}{a^2 + 1} \) может быть целым числом только в случае, когда \( a = 0 \).

4. Теперь подставим \( a = 0 \) в исходное выражение и получим значение:

\[
\frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} = \frac{5(0)^2 + 6}{(0)^2 + 1} = \frac{6}{1} = 6
\]

Ответ: Значение дроби \( \frac{5a^2 + 6}{a^2 + 1} \) является целым числом только при \( a = 0 \), и в этом случае его значение равно 6. При любом другом значении \( a \) дробь не будет целым числом.