ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 207 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

Найдите все точки графика функции \( y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} \) с целочисленными координатами.

\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{x^2 — 6x + 9 — 9 + 1}{x — 3} =\]

\[\frac{(x^2 — 6x + 9) — 8}{x — 3} = \frac{(x — 3)^2}{x — 3} — \frac{8}{x — 3} = x — 3 — \frac{8}{x — 3}.
\]

Значение дроби \(\frac{8}{x — 3}\) является целым числом тогда и только тогда, когда знаменатель \(x — 3\) равен:
\(-1, 1, -2, 2, -4, 4, -8, 8.\)

Рассчитаем значения \(x\):

\(x — 3 = -1 \Rightarrow x = 2\),

\(x — 3 = -2 \Rightarrow x = 1\),

\(x — 3 = -4 \Rightarrow x = -1\),

\(x — 3 = -8 \Rightarrow x = -5\),

\(x — 3 = 1 \Rightarrow x = 4\),

\(x — 3 = 2 \Rightarrow x = 5\),

\(x — 3 = 4 \Rightarrow x = 7\),

\(x — 3 = 8 \Rightarrow x = 11.\)

При \(x = 2\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{2^2 — 6 \cdot 2 + 1}{2 — 3} = \frac{4 — 12 + 1}{-1} = \frac{-7}{-1} = 7.
\]

При \(x = 1\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{1^2 — 6 \cdot 1 + 1}{1 — 3} = \frac{1 — 6 + 1}{-2} = \frac{-4}{-2} = 2.
\]

При \(x = -1\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{(-1)^2 — 6 \cdot (-1) + 1}{-1 — 3} = \frac{1 + 6 + 1}{-4} = \frac{8}{-4} = -2.
\]

При \(x = -5\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{(-5)^2 — 6 \cdot (-5) + 1}{-5 — 3} = \frac{25 + 30 + 1}{-8} = \frac{56}{-8} = -7.
\]

При \(x = 4\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{4^2 — 6 \cdot 4 + 1}{4 — 3} = \frac{16 — 24 + 1}{1} = \frac{-7}{1} = -7.
\]

При \(x = 5\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{5^2 — 6 \cdot 5 + 1}{5 — 3} = \frac{25 — 30 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2.
\]

При \(x = 7\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{7^2 — 6 \cdot 7 + 1}{7 — 3} = \frac{49 — 42 + 1}{4} = \frac{8}{4} = 2.
\]

При \(x = 11\):
\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{11^2 — 6 \cdot 11 + 1}{11 — 3} = \frac{121 — 66 + 1}{8} = \frac{56}{8} = 7.
\]

Ответ:
\[
(11, 7), (7, 2), (5, -2), (4, -7), (-5, -7), (-1, -2), (1, 2), (2, 7).
\]

Решение:

Дано выражение:

\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3}
\]

1. Преобразуем выражение, чтобы упростить его:

Первым шагом выразим \( 1 \) как дробь, имеющую общий знаменатель с основной дробью. Для этого перепишем \( 1 \) как \( \frac{(x — 3)^2}{(x — 3)} \):

\[
y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} = \frac{x^2 — 6x + 9 — 9 + 1}{x — 3}
\]

2. Упростим числитель:

Теперь числитель выглядит как разность \( (x^2 — 6x + 9) — 8 \), что позволяет выделить полное квадратное выражение:

\[
y = \frac{(x — 3)^2}{x — 3} — \frac{8}{x — 3}
\]

3. Упростим выражение:

Теперь можем упростить дробь \( \frac{(x — 3)^2}{x — 3} \). Так как \( (x — 3) \) и \( (x — 3)^2 \) имеют общие множители, сократим их:

\[
y = x — 3 — \frac{8}{x — 3}
\]

4. Теперь рассмотрим выражение \( \frac{8}{x — 3} \):

Для того чтобы эта дробь \( \frac{8}{x — 3} \) была целым числом, знаменатель \( x — 3 \) должен быть делителем 8. Таким образом, \( x — 3 \) должно быть одним из делителей 8. Перечислим все возможные делители 8:

• \( x — 3 = -1 \Rightarrow x = 2 \)
• \( x — 3 = -2 \Rightarrow x = 1 \)
• \( x — 3 = -4 \Rightarrow x = -1 \)
• \( x — 3 = -8 \Rightarrow x = -5 \)
• \( x — 3 = 1 \Rightarrow x = 4 \)
• \( x — 3 = 2 \Rightarrow x = 5 \)
• \( x — 3 = 4 \Rightarrow x = 7 \)
• \( x — 3 = 8 \Rightarrow x = 11 \)

5. Теперь подставим каждое значение \( x \) в выражение \( y = x — 3 — \frac{8}{x — 3} \), чтобы найти соответствующие значения \( y \):

При \( x = 2 \):

\[
y = 2 — 3 — \frac{8}{2 — 3} = -1 — \frac{8}{-1} = -1 + 8 = 7
\]

При \( x = 1 \):

\[
y = 1 — 3 — \frac{8}{1 — 3} = -2 — \frac{8}{-2} = -2 + 4 = 2
\]

При \( x = -1 \):

\[
y = -1 — 3 — \frac{8}{-1 — 3} = -4 — \frac{8}{-4} = -4 + 2 = -2
\]

При \( x = -5 \):

\[
y = -5 — 3 — \frac{8}{-5 — 3} = -8 — \frac{8}{-8} = -8 + 1 = -7
\]

При \( x = 4 \):

\[
y = 4 — 3 — \frac{8}{4 — 3} = 1 — \frac{8}{1} = 1 — 8 = -7
\]

При \( x = 5 \):

\[
y = 5 — 3 — \frac{8}{5 — 3} = 2 — \frac{8}{2} = 2 — 4 = -2
\]

При \( x = 7 \):

\[
y = 7 — 3 — \frac{8}{7 — 3} = 4 — \frac{8}{4} = 4 — 2 = 2
\]

При \( x = 11 \):

\[
y = 11 — 3 — \frac{8}{11 — 3} = 8 — \frac{8}{8} = 8 — 1 = 7
\]

Ответ: Точки пересечения: \( (11, 7), (7, 2), (5, -2), (4, -7), (-5, -7), (-1, -2), (1, 2), (2, 7) \).