Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 207 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
Найдите все точки графика функции \( y = \frac{x^2 — 6x + 1}{x — 3} \) с целочисленными координатами.
а) Уравнение:
✅ Ответ: (0;2), (2;8), (-2;4), (4;6)
б) Уравнение:
✅ Ответ: (6;2), (-8;0), (0;8), (-2;-6)
а) Уравнение: 5x + y − xy = 2
Преобразуем уравнение:
5x − xy = 2 − y
x(5 − y) = 2 − y
Выразим x:
x = (2 − y) / (5 − y)
Рассмотрим выражение:
x = (2 − y) / (5 − y) = (−(y − 2)) / (−(y − 5)) = (y − 2) / (y − 5)
Представим в виде дроби:
x = 1 + 3 / (y − 5)
Эта дробь будет целой, если 3 / (y − 5) — целое число. Это возможно только если (y − 5) — делитель 3:
- y − 5 = ±1 → y = 6 или 4
- y − 5 = ±3 → y = 8 или 2
Найдём x при этих значениях:
- y = 6 → x = (2 − 6)/(5 − 6) = (−4)/(−1) = 4
- y = 4 → x = (2 − 4)/(5 − 4) = (−2)/1 = −2
- y = 8 → x = (2 − 8)/(5 − 8) = (−6)/(−3) = 2
- y = 2 → x = (2 − 2)/(5 − 2) = 0/3 = 0
Ответ: (0;2), (2;8), (−2;4), (4;6)
б) Уравнение: xy − x + y = 8
Переносим x: x(y − 1) = 8 − y
x = (8 − y) / (y − 1)
Рассмотрим преобразование:
x = (8 − y) / (y − 1) = (−(y − 8)) / (y − 1)
Представим в виде дроби:
x = −1 + 7 / (y − 1)
Чтобы x был целым, дробь 7 / (y − 1) должна быть целой → y − 1 — делитель 7:
- y − 1 = ±1 → y = 2 или 0
- y − 1 = ±7 → y = 8 или −6
Найдём x при этих значениях:
- y = 2 → x = (8 − 2)/(2 − 1) = 6/1 = 6
- y = 0 → x = (8 − 0)/(0 − 1) = 8/(−1) = −8
- y = 8 → x = (8 − 8)/(8 − 1) = 0/7 = 0
- y = −6 → x = (8 − (−6))/(−6 − 1) = 14/(−7) = −2
Ответ: (6;2), (−8;0), (0;8), (−2;−6)
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.