Учебник по математике для 8 класса авторов Макарычева и Миндюк является одним из самых популярных пособий в школьной программе. Он сочетает в себе доступное объяснение материала, разнообразные примеры и задания, что делает его незаменимым помощником для учащихся. Давайте рассмотрим основные особенности этого учебника.
Основные особенности учебника
- Структурированность материала
Учебник разделен на логические разделы, которые охватывают все ключевые темы 8 класса. Каждая глава начинается с краткого введения, что помогает учащимся понять, что они будут изучать. - Доступные объяснения
Авторы стараются объяснять сложные концепции простым и понятным языком. Это позволяет учащимся легче усваивать материал и применять его на практике. - Разнообразие задач
В учебнике представлено множество задач разного уровня сложности. Это позволяет учителям адаптировать задания под уровень подготовки класса и индивидуальные потребности учеников. - Практические примеры
Учебник содержит множество примеров из реальной жизни, что помогает учащимся видеть практическое применение математических знаний. Это делает процесс обучения более интересным и увлекательным. - Контрольные работы и тесты
В конце каждой главы предусмотрены контрольные задания, которые позволяют проверить усвоение материала. Это способствует подготовке к контрольным работам и экзаменам.
Заключение
Учебник по математике для 8 класса Макарычева и Миндюк — это качественное пособие, которое сочетает в себе теорию и практику. Он подходит как для самостоятельного изучения, так и для работы в классе. Благодаря структурированному подходу и разнообразию заданий, этот учебник станет надежным помощником для каждого ученика, стремящегося к успеху в математике.
ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 205 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы
(Для работы в парах.) Зная, что \( m \) — целое число, найдите целые значения дроби:
а) \(\frac{m^2 — 6m + 10}{m — 3}\);
б) \(\frac{(m — 4)^2}{m — 2}\).
а) При и дробь целая.
б) При , и дробь целая.
а) Выражение: (m² − 6m + 10) / (m − 3)
Выполним деление многочлена:
Разделим m² − 6m + 10 на m − 3 столбиком или с помощью подбора:
m² − 6m + 10 = (m − 3)(m − 3) + 1 = (m − 3)² + 1
Тогда выражение можно переписать так:
(m − 3)² + 1 делим на m − 3:
\[
\frac{(m — 3)^2 + 1}{m — 3} = m — 3 + \frac{1}{m — 3}
\]
Чтобы выражение было целым, дробная часть 1 / (m − 3) должна быть целым числом.
Это возможно, если m − 3 — делитель единицы, т.е. ±1.
Тогда:
- m − 3 = 1 → m = 4
- m − 3 = −1 → m = 2
Ответ: m = 2 и m = 4 — тогда дробь принимает целые значения.
б) Выражение: ((m − 4)²) / (m − 2)
Распишем квадрат числителя:
(m − 4)² = m² − 8m + 16
Рассмотрим выражение:
\[
\frac{(m — 4)^2}{m — 2}
\]
Так как знаменатель — линейный, а числитель — квадрат, попробуем найти такие значения m, при которых результат — целое число.
Пусть:
\[
\frac{(m — 4)^2}{m — 2} = \frac{x^2}{x + 2}, \text{ где } x = m — 4
\]
Тогда:
\[
\frac{x^2}{x + 2}
\text{ — целое число, если } x + 2 \mid x^2
\]
Проверим для целых x от -10 до 10:
- x = -2 → знаменатель 0 — нельзя
- x = -4 → (−4)² = 16, (−4 + 2) = −2 → 16 / −2 = −8 (целое)
- x = 0 → 0² / (0 + 2) = 0 (целое)
- x = 2 → 4 / 4 = 1 (целое)
Теперь вернемся к m:
- x = -4 → m = 0
- x = 0 → m = 4
- x = 2 → m = 6
Ответ: m = 0, 4, 6 — тогда дробь принимает целые значения.
Алгебра
Важно отдавать предпочтение не просто шпаргалкам, где написан только ответ, а подробным пошаговым решениям, которые помогут детально разобраться в вопросе. Именно такие вы найдёте на этой странице. Решения SmartGDZ подготовлены опытными педагогами и составлены в соответствии со всеми образовательными стандартами.