ГДЗ по Алгебре 8 Класс Номер 205 Макарычев Миндюк — Подробные Ответы

(Для работы в парах.) Зная, что \( m \) — целое число, найдите целые значения дроби:

а) \(\frac{m^2 — 6m + 10}{m — 3}\);

б) \(\frac{(m — 4)^2}{m — 2}\).

а) При $m = 2$ и $m = 4$ дробь целая.
б) При $m = 0$, $m = 4$ и $m = 6$ дробь целая.

а) Выражение: (m² − 6m + 10) / (m − 3)

Выполним деление многочлена:

Разделим m² − 6m + 10 на m − 3 столбиком или с помощью подбора:

m² − 6m + 10 = (m − 3)(m − 3) + 1 = (m − 3)² + 1

Тогда выражение можно переписать так:

(m − 3)² + 1 делим на m − 3:

\[
\frac{(m — 3)^2 + 1}{m — 3} = m — 3 + \frac{1}{m — 3}
\]

Чтобы выражение было целым, дробная часть 1 / (m − 3) должна быть целым числом.

Это возможно, если m − 3 — делитель единицы, т.е. ±1.

Тогда:

• m − 3 = 1 → m = 4
• m − 3 = −1 → m = 2

Ответ: m = 2 и m = 4 — тогда дробь принимает целые значения.

б) Выражение: ((m − 4)²) / (m − 2)

Распишем квадрат числителя:

(m − 4)² = m² − 8m + 16

Рассмотрим выражение:

\[
\frac{(m — 4)^2}{m — 2}
\]

Так как знаменатель — линейный, а числитель — квадрат, попробуем найти такие значения m, при которых результат — целое число.

Пусть:

\[
\frac{(m — 4)^2}{m — 2} = \frac{x^2}{x + 2}, \text{ где } x = m — 4
\]

Тогда:

\[
\frac{x^2}{x + 2}
\text{ — целое число, если } x + 2 \mid x^2
\]

Проверим для целых x от -10 до 10:

• x = -2 → знаменатель 0 — нельзя
• x = -4 → (−4)² = 16, (−4 + 2) = −2 → 16 / −2 = −8 (целое)
• x = 0 → 0² / (0 + 2) = 0 (целое)
• x = 2 → 4 / 4 = 1 (целое)

Теперь вернемся к m:

• x = -4 → m = 0
• x = 0 → m = 4
• x = 2 → m = 6

Ответ: m = 0, 4, 6 — тогда дробь принимает целые значения.